Xét tổng:

(5a-4b)+4(2a+b)=5a-4b+8a+4b

<=>(5a-4b)+4(2a+b)=13a

Ta có : 13 chia hết cho 13 => 13a chia hết cho 13 với mọi a thuộc Z

=> [(5a-4b)+4(2a+b)] chia hết cho 13                 (1)

Ta có (5a-4b) chia hết cho 13 - Bài cho               (2)

Từ (1) ; (2) => 4(2a+b) chia hết cho 13

mà (4,13) =1

=> (2a+b) chia hết cho 14

Do đó nếu (5a-4b) chia hết cho 13 thì (2a+b) chia hết cho 13

Sai đề rồi bạn ơi
VD tại a=4 b=16 thì 5.4+2.16 = 52 chia hết 13
Nhưng 4a+b thức 4.4+16=32 ko chia hết cho 13

Ta có:

• \(3^3=27\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(3^3\right)^{35}=3^{105}\equiv1\left(mod13\right)\)

\(4^3=64\equiv-1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(4^3\right)^{35}=4^{105}\equiv-1\left(mod13\right)\)

Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+\left(-1\right)\left(mod13\right)\) hay \(A⋮13\left(1\right)\)

• \(4^3\equiv-2\left(mod11\right)\Rightarrow\left(4^3\right)^5=4^{15}\equiv\left(-2\right)^5\left(mod11\right)\) hay \(4^{15}\equiv1\left(mod11\right)\)

\(3^5=243\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow\left(3^5\right)^{21}=3^{105}\equiv1\left(mod11\right)\)

Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+1\left(mod11\right)\) hay \(A=3^{105}+4^{105}\equiv2\left(mod11\right)\)

=> A không chia hết cho 11 (2)

Từ (1) và (2) => đcpm

Chứng minh chia hết cho 13:

\(A=3^{105}+4^{105}\\ A=\left(3^3\right)^{35}+\left(4^3\right)^{35}\\ A=27^{35}+64^{35}\\ A=\left(27+64\right)\left(27^{34}-27^{33}.35+.......+35^{34}\right)\)

\(A=91\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\)

\(A=13.7\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\) chia hết cho 13

Chứng minh không chia hết cho 11

\(3^{105}=243^{21}=\left(242+1\right)^{21}=242^{21}+2.242+1^{21}=242^{21}+2.242+1\)

Vì \(242\) chia hết cho 11 nên \(242^{21}+2.242+1\) chia 11 dư 1

\(4^{105}=1024^{21}=\left(1023+1\right)^{21}=1023^{21}+2.1023+1\)

Vì \(1023\) chia hết cho 11 nên \(1023^{21}+2.1023+1\) chia 11 dư 1

Vậy tổng \(A=3^{105}+4^{105}\) chia 11 dư 2 \(\left(1+1\right)\)

Vậy A không chia hết cho 11 (2)

Ta có :

A- B = 15x-23y-(2x+3y)=13x-26y.

Rõ ràng A-B chia hết cho 13  với mọi x, y là số nguyên. Do đó :

-nếu A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13.

-Nguọc lại nếu B chia hết cho 13 thì A chia hết cho 13.

Lời giải:

$27\equiv 1\pmod {13}$

$\Rightarrow 27^{12}\equiv 1^{12}\equiv 1\pmod {13}(1)$

$43\equiv 4\pmod {13}\Rightarrow 43^7\equiv 4^7\pmod {13}(2)$

$9\equiv -4\pmod {13}\Rightarrow 9^{17}\equiv (-4)^{17}\pmod {13}(3)$

Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow 27^{12}+43^7+9^{17}\equiv 1+4^7+(-4)^{17}$

$\equiv 1+4^7(1-4^{10})\pmod {13}$

Mà: 
$4^3\equiv -1\pmod {13}$

$\Rightarrow 4^7=(4^3)^2.4\equiv (-1)^2.4\equiv 4\pmod {13}$

$4^{10}=(4^3)^3.4\equiv (-1)^3.4\equiv -4\pmod {13}$

$\Rightarrow 27^{12}+43^7+9^{17}\equiv 1+4^7(1-4^{10})\equiv 1+4(1--4)\equiv 21\equiv 8\pmod {13}$

Tức là tổng trên không chia hết cho 13 bạn nhé.

a)\(10^9+10^8+10^7=10^7\left(10^2+10+1\right)=10^7\cdot111=2\cdot10^6\cdot555⋮555\)

b)\(81^7-27^9-9^{13}=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}\left(3^2-3-1\right)=3^{26}.5=3^{24}\cdot45⋮45\)

Chúc bạn học tốt :)!