\(\Leftrightarrow x\left(x^4-5x^2+4\right)=24\left(5y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left[\left(x^4-4x^2\right)-\left(x^2-4\right)\right]=24\left(5y+1\right)\Leftrightarrow x\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)=24\left(5y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)=24\left(5y+1\right)\)

Vid x là số nguyên

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 5

mà \(24\left(5y+1\right)\) không chia hết cho 5 nên vô lí

Vậy pt vô nghiệm

Giả sử pt có nghiệm nguyên

Ta có: VT = x⁵ - 5x³ + 4x

= x⁵ - x - 5x³ + 5x

= x(x⁴ - 1) - 5x³ + 5x

= x(x² - 1)(x² + 1) - 5x³ + 5x

= x(x² - 1)(x² - 4) + x(x² - 1).5 - 5x³ + 5x

= (x - 2)(x - 1)x(x+ 1)(x + 2) + 5x(x² - 1) - 5x³ + 5x

Vì x nguyên nên (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp

=> (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) chia hết cho 5

Lại có: 5x(x² - 1); -5x³; 5x chia hết cho 5

Do đó (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) + 5x(x² - 1) - 5x³ + 5x chia hết cho 5

hay VT chia hết cho 5

VP = 24(5y + 1) không chia hết cho 5

suy ra điều vô lý

=> điều giả sử là sai

Ta có đpcm

phân tích kiểu này ngắn hơn nè:

\(x^5-5x^3+4x=x^5-x^3-4x^3+4x=x^3\left(x^2-1\right)-4x\left(x^2-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(VT=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

Vế trái là tích 5 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 5 với mọi x

Xét vế phải, ta có cả 24 và \(5y+1\) đều ko chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên vế phải ko chia hết cho 5 với mọi y

\(\Rightarrow\) Pt luôn vô nghiệm

1, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1-2x_2\right)\left(2x_1-x_2\right)\\ =2x_1^2-4x_1x_2-x_1x_2+2x_1^2\\ =2\left(x_1^2+x_2^2\right)-5x_1x_2\\ =2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5x_1x_2\\ =2\left(-5\right)^2-4.\left(-6\right)-5.\left(-6\right)\\ =104\)

2, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(B=x_1^3x_2+x_1x_2^3\\ =x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)\\ =\left(-3\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\\ =\left(-3\right)\left[5^2-2\left(-3\right)\right]\\ =-93\)