A =m+4n

B =10m+n

10A - B = 10m +40n -10m -n =39n chia hết cho 13

+Nếu A =m+4n chia hết cho 13 => 10A chia hết cho 13

                                                => B chia hết cho 13 ( tính chất chia hết của 1 tổng)

+Nếu B = 10m +n chia hết cho 13 => 10A chia hết cho 13 ; vì 10 không chia hết cho 13 => A chia hết cho 13

Vậy A chia hết cho 13 \(\Leftrightarrow\) B  chia hết cho 13

Gọi m+4n là x;10m+n la y

3x+y=3(m+4n)+10m+n=(3m+12n+10m+n)=(13m+13n) chia hết cho 13

Mà 3x chia hết cho 13

=>y chia hết cho 13                   

                     Vậy nếu m+4n chia hết cho 13 suy ra 10m+n chia hết cho 13 với mọi n,m thuộc N

m + 4n chia hết cho 13 => 3m + 12n chia hết cho 13

Xét tổng: A = 3m + 12n + 10m + n = 13m + 13n chia hết cho 13

CM theo chiều xuôi (có m + 4n chia hết cho 13, CM 10m + n chia hết cho 13):

A chia hết cho 13

Mà m + 4n chia hết cho 13 => 3m + 12n chia hết cho 13

=> 10m + n chia hết cho 13

CM theo chiều ngược:

A chia hết cho 13

Mà 10m + n chia hết cho 13

=> 3m + 12n chia hết cho 13

=> 3(m + 4n) chia hết cho 13

Mà (3,13) = 1

=> m + 4n chia hết cho 13

Vậy:.

Ta có: 10m+n chia hết cho 13

=>10m chia hết cho 13

mà 10 không chia hết cho 13 nên m chia hết cho 13

=>n chia hết cho 13 nên 4n chia hết cho 13

=>m+4n chia hết cho 13

=>đpcm(ghi lại đề)

Lời giải:

Chiều xuôi:

$m+4n\vdots 13$

$\Rightarrow 3(m+4n)\vdots 13$

$\Rightarrow 13(m+n)-3(m+4n)\vdots 13$

$\Rightarrow 10m+n\vdots 13(1)$

----------------

Chiều ngược:

$10m+n\vdots 13$

$\Rightarrow 13(m+n)-(10m+n)\vdots 13$

$\Rightarrow 3m+12n\vdots 13$

$\Rightarrow 3(m+4n)\vdots 13$

$\Rightarrow m+4n\vdots 13$ (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow m+4n\vdots 13$ khi và chỉ khi $10m+n\vdots 13$

chia hết.chấm hếtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt

Ta có m+4n=10m+40n

                 =10m+n+39n

Vì 39n chia hết cho 13 mà 10m+n+39n chia hết cho 13

\(\left(m+4n\right)⋮13\Leftrightarrow-3\left(m+4n\right)⋮13\)(vì \(\left(3,13\right)=1\))

\(\Leftrightarrow\left[-3\left(n+4n\right)+13\left(m+n\right)\right]⋮13\)

\(\Leftrightarrow\left(10m+n\right)⋮13\)