+) Trong ba số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 3. Vì \(p,p+2\) là các số nguyên tố lớn hơn 3, suy ra \(p+1\)  chia hết cho 3. Vậy \(p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)\vdots3.\)

+) Vì \(p,p+2\) là các số nguyên tố lẻ nên chia cho 4 chỉ có thể dư là 1 hoặc 3.

Nếu \(p=4k+1\to p+2=4k+3\to p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)=4\left(2k+1\right)\vdots4.\)

Nếu \(p=4k+3\to p+2=4k+5\to p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)=4\left(k+2\right)\vdots4.\)

Vậy tổng \(p+\left(p+2\right)\)  vừa chia hết cho \(3\) vừa chia hết cho \(4\), nên chia hết cho \(12\).

+ Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
- giả sử p + p + 2 không chia hết cho 12 <> p + 1 không chia hết cho 6
<> p = 6n hoạc p = 6n + 1 .... hoạc p = 6n + 4
- với p = 6n ( n >= 1) => p là hợp số mâu thuẫn
- với p = 6n + 1 ( n >= 1) => p + 2 = 6n + 3 = 3(2n + 1) là hợp số => mâu thuẫn
- ....
- với p = 6n + 4 ( n>= 0) => p cũng là hợp số
Vậy p + 1 phải chia hết cho 6 hay p + p + 2 phải chia hết cho 12

b/Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet) 

1)

Ta có: a+a+2=2a+2=2.(a+1)

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3

=>a là số lẻ

=>a+1 là số chẵn

=>a+1 chia hết cho 2

=>2.(a+1) chia hết cho 4

=>a+a+2 chia hết cho 4(1)

Lại có:

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3

=>a có 2 dạng 3k+1 và 3k+2

*Xét a=3k+1=>a+2=3k+1+2=3k+3=3.(k+1) là hợp số

=>Vô lí

*Xét a=3k+2=>a+2=3k+2+2=3k+4=3.(k+1)+1 là số nguyên tố

Khi đó: a+a+2=2a+2=2.(3k+2)+2=2.3k+4+2=3.2k+6=3.(2k+3) chia hết cho 3

=>a+a+2 chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) ta thấy:

a+a+2 chia hết cho 4 và 3

mà (4,3)=1

=>a+a+2 chia hết cho 4.3

=>a+a+2 chia hết cho 12

Vậy tổng của n và n+2 chia hết cho 12