Giả sử f(n) là số chính phương với mọi n nguyên dương

Đặt \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)

Suy ra \(f\left(1\right)=1+O+L+M\);\(f\left(2\right)=8+4O+2L+M\);\(f\left(3\right)=27+9O+3L+M\);\(f\left(4\right)=64+16O+4L+O\) đều là số chính phương.

Mà \(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv2L\left(mod4\right)\) và\(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\)(do \(f\left(4\right),f\left(2\right)\)đều là số chính phương)

Do đó= \(2L\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(2L+2\equiv2\left(mod4\right)\)

Mặt khác \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv2L+2\left(mod4\right)\)

=>Mâu thuẫn với điều giả sử (do \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\))

=>Đpcm

Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)không phải là số chính phương.

Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

Đặt : \(n^2+3n=k\)\(\Rightarrow A=k\left(k+2\right)=k^2+2k\)

Ta có : \(\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right)\left(k+1\right)\)

\(=k\left(k+1\right)+1\left(k+1\right)\)

\(=k^2+k+k+1=k^2+2k+1\)

Do : \(n\inℕ^∗\Rightarrow n^2+3n>0\)hay : \(k>0\)

\(\Rightarrow k^2+2k>k^2\)

Ta có : \(k^2< k^2+2k< k^2+2k+1\)

hay : \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\)

Do : \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)là hai số chính phương liên tiếp

\(\Rightarrow k^2+2k\)không phải là số chính phương

\(Giai\)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(\text{Đặt:n2+3n=t}\)

\(A=t\left(t+2\right)=\left(t+1\right)^2-1\)

Đến đây cậu đã làm được chưa ạ?

mik làm thế này có đúng không nhỉ ? mai mik phải nộp cho thầy òi
a) Ta có : 
abab = ab . 101
Để abab là số chính phương thì ab chỉ có thể bằng 101.
Mà ab là số có hai chữ số 
=> abab không phải là số chính phương
b) Ta có : 
abcabc = abc . 1001
Để abcabc là số chính phương thì abc chỉ có thể bằng 1001.
Mà abc là số có 3 chữ số
=> abcabc không phải là số chinh phương
c) Ta có : 
ababab = ab . 10101
Để ababab là số chính phương thì ab chỉ có thể bằng 10101.
Mà ab là số có hai chữ số.
=> ababab không phải là số chính phương. 
Kết luận : abab ; abcabc ; ababab ko phải là số chính phương (đpcm)

tự ra câu hỏi xong tự giải , chúng tui pải làm j

Bài 1:

a ) Ta có :  A là tổng các số hạng chia hết cho 3 => A \(⋮\)3                            

                  A có 3 không chia hết cho 9 => A không chia hết cho 9

=>  A \(⋮\)3 nhưng không chia hết cho 9

=> A không phải là số chính phương

Bài 2:

Gọi 2 số lẻ có dạng 2k+1 và 2q+1 (k,q thuộc N)

Có : A = (2k+1)^2+(2q+1)^2

           = 4k^2+4k+1+4q^2+4q+1

           = 4.(k^2+k+q^2+q)+2

Ta thấy A chia hết cho 2 nguyên tố

Lại có : 4.(q^2+q+k^2+k) chia hết cho 4 mà 2 ko chia hết cho 4 => A ko chia hết cho 4

=> A chia hết cho 2 nguyên tố mà A ko chia hết cho 4 = 2^2

=> A ko là số  chính phương

=> ĐPCM

mình chịu thôi vì mình mới học lớp 5