|x + y| ≤ |x| + |y|

Với mọi x, y ∈ Q ta luôn có: x ≤ |x| và -x ≤ |x|

y ≤ |y| và -y ≤ |y|

=> x + y ≤ |x| + |y| và -x-y ≤ |x| + |y| hay x + y ≥ - (|x| + |y|)

Do đó - (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

Vậy |x + y| ≤ |x| + |y|

Chúc bạn học tốt!!!

a, Vì hai vế đều ko âm nên ta đuợc :

\(\left|x+y\right|^2\)<=\(\left(\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\right)\)

<=> (x+y)(x+y) <= \(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

<=> \(x^2+2xy+y^2\) <= \(x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)

<=> xy <= |xy| ( Luôn đúng với mọi x và y )

Vậy BĐT trên đúng. Dấu ' = ' xảy ra khi x, y cùng dấu

b, Áp dụng từ câu a , bạn suy ra nhé !

a) cả 2 vế không âm nên bình phương 2 vế ta được :

\(\left|x+y\right|^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right).\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2.\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\le\left|xy\right|\) Điều này luôn đúng với mọi số x ; y .

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng . Dầu " ="khí | xý | = xy <=> x ; y cùng dấu .

b) Áp dụng câu a) ta có : | x - y| + |y| \(\ge\) | (x-y) + y | = |x|

=> |x - y | \(\ge\)|x| + | y|

Đầu " = " xảy ra <=> (x-y) và y cùng dấu

a) \(VT=\left(x^2-y^2\right)^{1995}=\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^{1995}\)

\(=\left(x+y\right)^{1995}.\left(x-y\right)^{1995}=VP\)

\(\Rightarrow\)đpcm

bài  dài nên cô sẽ gợi ý An theo bước sau: 
đầu tiên ta chứng minh: \(0< a< b;\)0<m<n  thì : \(\frac{a+m}{b+m}< \frac{a+n}{b+n}\)(1)
thật vậy: \(\frac{a+m}{b+m}< \frac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow\frac{a+m}{b+m}-\frac{a+n}{b+n}< 0\Leftrightarrow\left(n-m\right)\left(a-b\right) < 0\)(vì n-m>0; a-b<0)
TH1: nếu x và y cùng dấu khi đó: \(\left|x\right|\ge\left|x-y\right|\) hoặc \(\left|y\right|>\left|x-y\right|\)( chứng minh bằng cách chia hai trường hợp x,y>0; x<y<0)
giả sử |x|>|x-y|
ÁP dụng bất đẳng thức (1) với |x| và |x-y|, 1 và 2008 ta có:\(\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+2008}>\frac{\left|x-y\right|}{\left|x-y\right|+2008}\)suy ra bất đẳng thức đúng.
TH2: x, y trái dấu khi đó: \(\left|x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)
ta có: \(\frac{\left|x-y\right|}{\left|x-y\right|+2008}=\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
ta thấy: \(\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+2008}>\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
             \(\frac{\left|y\right|}{\left|y\right|+2008}>\frac{\left|y\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
cộng hai vế của bất đẳng thức ta suy ra điều phải chứng minh.
TH3: nếu x = y = 0 thì bất đẳng thức đúng.
TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.


 
 

- Ai giúp đi ~~