\(d=\left(2n+1,\frac{n^2+n}{2}\right)=\left(2n+1,n^2+n\right)\text{vì }2n+1\text{ lẻ}\)

\(\Rightarrow2n^2+2n-2n^2-n\text{ chia hết cho d hay:}n\text{ chia hết cho d do đó: }2n+1-2n\text{ chia hết cho d }nên:\)

1 chia hết cho d nên: d=1.

ta có điều phải chứng minh.

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n (n \(\in\) N) có tận cùng là 1.

Ta có \(3^{50}+1=3^{4.12+2}+1=3^{4.12}.3^2+1=\left(...1\right).9+1=\left(...9\right)+1=\left(...0\right)\)có tận cùng là 0 nên có thể là tích cảu hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có 1 số có tận cùng là 0.

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )

Cho mình hỏi ở chỗ câu b): Vì sao 2n-1=3p^2 và 2n+1=q^2 vậy ạ?

+) Nếu n chẵn => n = 2k (k \(\in\) N) => 2ⁿ = 2^2k = 4^k 

=> 2ⁿ + 3 = 4^k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương (Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

+) Nếu n lẻ => n = 2k + 1 (k \(\in\) N* vì n > 1) => 2ⁿ + 3 = 2^2k+1 + 3 = 2.4^k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương

Vậy Với mọi n > 1 thì 2ⁿ + 3 không là số chính phương

Ngọc Vĩ= sư tử xổng chuồng

chưa hok dạng này lần nào       

2^n+3 ko phải là số chính phương vì 1 số chính phương chia 2 ko dư 3