Xet \(n=3k\)

\(\left(3k\right)^2+3k+2\equiv2\left(mod3\right)\)

Xet \(n=3k+1\)

\(\left(3k+1\right)^2+3k+1+2\equiv4\equiv1\left(mod3\right)\)

Xet \(n=3k+2\)

\(\left(3k+2\right)^2+3k+2+2\equiv1+2+2\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow n^2+n+2⋮̸3\)

\(\Rightarrow n^2+n+2⋮̸15\)

Mod là sao

Ta có: \(E=36^n+19^n-2^n\cdot2\)

Mặt khác: \(36\equiv19\equiv2\)(mod 17)

Do đó: \(VT\equiv2^n+2^n-2^n\cdot2\equiv0\)(mod 17)

Vậy .................

Xét \(n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=3^{2k+1}+1=3.9^k+1\)

Ta có: \(9^k\) chia cho 5 dư - 1 hoặc 1 

\(\Rightarrow3.9^k\)chia 5 dư - 3 hoặc 3

\(\Rightarrow3.9^k+1\)chia 5 dư - 2  hoặc 4

\(\Rightarrow A\) không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho \(10^{2016}\)

Xét \(n=2k\)

\(\Rightarrow A=3^{2k}+1=3^{2k}+1\)

Vì \(3^{2k}\)là số chính phương nên chia cho 4 dư 0 hoặc 1.

\(\Rightarrow A=3^{2k}+1\)chia cho 4 dư 1 hoặc 2.

\(\Rightarrow A\)không chia hết cho 4 nên A không chia hết cho \(10^{2016}\)

Ta có : n²  + n + 1 = n²  + ( n + 1 ) = n . ( n+1 ) + 1

Giả sử n chia hết cho 9 

 => n² chia hết cho 9

 => ( n + 1 ) không chia hết cho 9

 => n² + ( n + 1 ) không chia hết cho 9

 => điều giả sử là sai 

Vậy với mọi sô tựn nhiên n thì n² + n + 1 không chia hết cho 9

Đặt n = 3k \(\left(k\inℕ\right)\)

Khi đó P = 9k² + 3k + 1 = 3k(3k + 1) + 1 \(⋮̸3\)

=> \(P⋮̸9\)

Tương tự với n = 3k + 1

P = 9k² + 9k + 3 = 9k(k + 1) + 3\(⋮̸9\)

Với n = 3k + 2 

P = 9k² + 15k + 7 = 3k(3k + 5) + 7 \(⋮̸3\Leftrightarrow P⋮̸9\)

=> ĐPCM 

Chứng minh bằng phản chứng : 

Giả sử rằng tồn tại ít nhất một số tự nhiên n sao cho thỏa mãn \(n^2+7n+2014\) chia hết cho 9

Khi đó đặt n = 9k (k thuộc N)
 

Ta có \(n^2+7n+2014=\left(9k\right)^2+7.\left(9k\right)+2014=9.\left(9k^2+7k+223\right)+7\)

Từ đó ta thấy ngay điều giả sử sai, suy ra đpcm.

Ta có

A = n² + 7n + 2014 = (n + 2)(n + 5) + 2004

Giả sử A chia hết cho 9 thì A = 9k 

=> (n + 2)(n + 5) + 2004 = 9k (k tự nhiên)

Ta thấy 2004 chia hết cho 3 nên (n + 2)(n + 5) chia hết cho 3. Vậy 1 trong hai thừa số phải chia hết cho 3

Mà n + 5 - n - 2 = 3 chia hết cho 3 nên cả (n + 5) và (n + 2) đều chia hết cho 3.

Hay (n + 5)(n + 2) chia hết cho 9.

Mà A lại chia hết cho 9 nên 2004 chia hết cho 9 (vô lý)

Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để A chia hết cho 9