Xét hiệu: \(x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\)

                                                    \(=\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\)

                                                    \(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

                                                    \(=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)≥ 0. Dấu "=" xảy ra khi x=y 

Vậy x⁵+y⁵ ≥ x⁴y+xy⁴. Dấu "=" xảy ra khi x=y

\(a^4+1-a\left(a^2+1\right)=a^4+1-a^3-a=\left(a^4-a\right)-\left(a^3-1\right)\)

\(=a\left(a^3-1\right)-\left(a^3-1\right)=\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\)

\(=\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ge0\forall a\)(đpcm)

x²+y²+z²+3> hoac = 2(x+y+z)

\(x^2+y^2+z^2+3-2\left(x+y+z\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)(Đpcm)

Dấu = khi (x-1)²=(y-1)²=(z-1)²=0 =>x=y=z=1

ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)

ta có (a-b)²>0suy ra a/b+b/a> hoặc =2

suy ra (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>hoặc=9

suy ra 1/a+1/b+1/c>hoặc=9/a+b+c

1. Đ

2 S    ( lớn hơn hoặc =.)

3S    ( thêm hoặc =. vd x = 0)

4Đ

5S ( với mọi x >0)

6Đ

7Đ

Lời giải:

Xét hiệu:

$a^2+b^2+c^2-(2ab-2ac+2bc)=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$

$=(a^2+b^2-2ab)+c^2+2c(a-b)$

$=(a-b)^2+c^2+2c(a-b)=(a-b+c)^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2ab-2ac+2bc$

Vậy ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a-b+c=0$

Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để đề được rõ ràng hơn nhé.

Bài 1:

\(x^3-x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = -1

Bài 2:
\(2x-2x^2-1=-2\left(x^2-x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=-2\left(x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=-2\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}< 0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

đpcm la j the ban