Lời giải:

Gọi vế trái là $A$

$2A=\frac{2}{2^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{2}{6^2}+...+\frac{2}{2022^2}$

Xét số hạng tổng quát:

$\frac{2}{n^2}$. Ta sẽ cm $\frac{2}{n^2}< \frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}(*)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{n+1+n-1}{n(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{n^2-1}$ (luôn đúng)

Thay $n=2,4,...., 2022$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{2}{2^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}$

$\frac{2}{4^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}$

.......

Suy ra: $2A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2022.2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2023}< 1$

$\Rightarrow A< \frac{1}{2}$

Bài 1:

1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 = 3² (là một số chính phương)

1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = 6² (là một số chính phương)

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10² (là số cp)

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = (15)² là số cp

Bài 2:

126² + 1 = \(\overline{..6}\) + 1 = \(\overline{...7}\) (không phải số chính phương)

100! + 8 = \(\overline{...0}\) + 8 = \(\overline{...8}\) (không phải là số chính phương)

101² - 3 \(\overline{..01}\) - 3 = \(\overline{...8}\) (không phải là số chính phương)

10⁷ + 7 = \(\overline{..0}\) + 7 = \(\overline{..7}\) (không phải là số chính phương)

11 + 11² + 11³ = \(\overline{..1}\)+ \(\overline{..1}\)+ \(\overline{..1}\) = \(\overline{...3}\) (không phải số chính phương)

2² + 4² + 6² + ... + 16² + 18²

= 4.(1 + 2² + 3² + ... + 8² + 9²)

= 4.285

= 1140

= 285 nha mình ghi nhầm thành 385

Đặt B=\(\frac{2}{4^2}+\frac{2}{6^2}+\frac{2}{8^2}+....+\frac{2}{2008^2}\)

=> A+B= 2\(\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2007^2}+\frac{1}{2008^2}\right)\) <2   \(\left(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+....+\frac{1}{2006\cdot2007}+\frac{1}{2007\cdot2008}\right)\)

=2\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}\right)\)=\(\frac{2006}{2008}\)

mà A<B=>A+A<A+B=2006/2008

=>A<1003/2008

mấy câu kia cũng tương tự, mình làm biếng quá