\(y=mx^2-2mx-m^2-1\)

\(=m\left(x^2-2x\right)-m^2-1\)

Điểm cố định của (d) có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x=0\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-2\right)=0\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{0;2\right\}\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

TH1: x=0

Thay x=0 và \(y=-m^2-1\) vào y=x-2, ta được:

\(-m^2-1=0-2=-2\)

=>\(m^2+1=2\)

=>\(m^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)

TH2: x=2

Thay x=2 và \(y=-m^2-1\) vào y=x-2, ta được:

\(-m^2-1=2-2=0\)

=>\(m^2+1=0\)

=>\(m^2=-1\)(vô lý)

Đỉnh parabol : \(I\left(1;-m^2-m-2\right)\) nằm trên đt y = x - 3 \(\Leftrightarrow x=1;y=-m^2-m-2\) t/m ct h/s :

\(-m^2-m-2=1-3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)(loại m = 0)

\(\Delta'=m^2+m\left(m^2+1\right)=m^3+m^2+m\)

Tọa độ đỉnh \(I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta'}{a}\right)\Rightarrow I\left(1;-m^2-m-1\right)\)

Để I thuộc d \(\Rightarrow-m^2-m-1=1-2\)

\(\Leftrightarrow m^2+m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(l\right)\\m=-1\end{matrix}\right.\)

a: Thay x=3 và y=0 vào (1), ta được:

\(6-3m=0\)

hay m=2

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+3x=x+m^2\Leftrightarrow x^2+2x-m^2=0\)

Pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-m^2\end{matrix}\right.\) 

Do I là trung điểm đoạn AB \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-1\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{x_A+m^2+x_B+m^2}{2}=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Mà I thuộc d'

\(\Leftrightarrow y_I=2x_I+3\Leftrightarrow m^2-1=2.\left(-1\right)+3\)

\(\Leftrightarrow m^2=2\Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sum m^2=4\)

Đáp án A

a: Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2}\\y=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}{4\cdot1}=-\dfrac{1+8}{4}=-\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Vì (P): \(y=x^2+x-2\) có a=1>0

nên (P) đồng biến khi x>-1/2 và nghịch biến khi x<-1/2

Vẽ (P): 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+x-2=-\left(m+1\right)x+m+2\)

=>\(x^2+x-2+\left(m+1\right)x-m-2=0\)

=>\(x^2+\left(m+2\right)x-m-4=0\)(1)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía so với trục Oy thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>-m-4<0

=>-m<4

=>m>-4

mà \(m\in Z;m\in\left[-10;4\right]\)

nên \(m\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}\)

=>Có 8 số thỏa mãn