\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=4\\A=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy biểu thức A luôn có giá trị nguyên (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

ĐK:y+z+t,z+t+x,t+x+z,x+z+y khác 0

x+y+t+z khác 0

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}\)

mà x+y+z+t khác 0 nên:

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=t\)

\(\Rightarrow P=4\left(\text{nguyên}\right).\text{Vậy: P nguyên}\)

@shitbo : Cơ sở đâu mà bạn cho rằng: x + y + z + t khác 0? Nếu x + y + z + t = 0 thì P = -1 ok?

Ta có 

\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )

=2564/3=2564

    2356

Ta có: \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{x+t+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

Thêm 1 vào mỗi phân số ta được:

\(\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{x+t+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{z+t+x}=\frac{x+y+z+t}{x+t+y}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

- Nếu x + y + z + t \(\ne\) 0 thì x = y = z = t

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}=1+1+1+1=4\)

- Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = -(z + t)

                                         y + z = -(t + x)

                                         z + t = -(x + y)

                                         t + x = -(y + z)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\frac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{-\left(y+z\right)}{y+z}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

Tham khảo lời giải tải đây nha : http://123link.vip/TJMUnni

Ta có : x/y+z+t = y/z+t+x = z/t+x+y = t/x+y+z = x+y+z+t/3.(x+y+z+t) = 1/3

• x/y+z+t = 1/3 => 3x = y+z+t     (1)
• y/z+t+x = 1/3 => 3y = z+t+x     (2)
• z/t+x+y = 1/3 => 3z = t+x+y     (3)
• t/x+y+z = 1/3 => 3t  = x+y+z    (4)

• Ta lấy  (1) trừ (2) => 3x-3y = y-x

                         => 3x + x = 3y +y    (Dùng quy tắc chuyển vế )

                         =>.4x = 4y

                         => x=y     (5)

•     (2)-(3) => ( Tương tự như trên nhưng thay lại bằng các số khác )     (6)
•     (3)-(4) =>      ----------------------------------------------------------------------          (7)

Từ (5) (6) (7) => x=y=z=t 

  MONG LÀ CÂU TRẢ LỜI NÀY ĐÚNG ! CHÚC BẠN THÀNH CÔNG