a) \(f\left(0\right)=\dfrac{2}{7}.0-8=-8\)

\(f\left(2\right)=\dfrac{3}{7}.2-8=-\dfrac{50}{7}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{3}{7}.\left(-1\right)-8=-\dfrac{59}{7}\)

\(f\left(-2\right)=\dfrac{3}{7}.\left(-2\right)-8=-\dfrac{62}{7}\)

b) Với mọi \(x_1,x_2\in R\), ta có

\(x_1>x_2\Leftrightarrow\dfrac{3}{7}x_1>\dfrac{3}{7}x_2\Leftrightarrow\dfrac{3}{7}x_1-8>\dfrac{3}{7}x_2-8\Leftrightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm số luôn đồng biến trên R

b: Vì \(a=\dfrac{3}{7}>0\) nên hàm số đồng biến trên R

b: Vì \(a=-\dfrac{5}{9}< 0\) nên hàm số luôn nghịch biến trên R

Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)

\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)

\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)

Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\) 

\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)

Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)

\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)

\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))

 Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)

công thức tổng quát: f(x)=x^{3        sdasdasdadasd}

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là a, Khi đó f(x)=(x−a)Q(x)
Thay x =1;2 vào biểu thức trên ta được : f(1)=(1−a)Q(1) và f(2)=(2−a)Q(2)

=> f(1).f(2)=(a−1)(a−2)Q(1).Q(2)

Hay 2013=(a−1)(a−2).Q(1)Q(2)

Ta có VT không chia hết cho 2, VP chia hết cho 2 ( vì (a−1)(a−2) chia hết cho 2 )

=> PT vô nghiệm

=> f(x) không có nghiệm nguyên 

Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.

G/s f ( x) = 0 có nghiệm nguyên là a 

Khi đó: \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)g\left(x\right)\)

Ta có: f ( 2017 ) . f(2018) = 2019

<=> ( 2017 - a ) . g(2017).  ( 2018 - x ) . g ( 2018) = 2019

<=>  ( 2017 - a ) .  ( 2018 - a ) . g ( 2018) .  g(2017).= 2019

Nhận xét thấy một điều rằng ( 2017 - a ) và (2018 - a ) là hai số nguyên liền nhau

=> ( 2017 - a ) . ( 2018 - a) \(⋮\)2  => VT  \(⋮\)2 => 2019 \(⋮\)2 điều này vô lí

Vậy không tồn tại; hay f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm nguyên x = a. Khi đó f(x) = (x - a).g(x)

Vậy thì f(0) = -a.g(x)   ; f(1) = (1 - a).g(x) ; f(2) = (2 - a).g(x);    f(3) = (3 - a).g(x) ; f(4) = (4 - a).g(x) ; 

Suy ra f(0).f(1).f(2).f(3).f(4) = -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a).g⁵(x)

VT không chia hết cho 5 nhưng VP lại chia hết cho 5 (Vì -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5)

Vậy giả sử vô lý hay phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.