2. Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Có : ( 16a + 17b ) ( 17a + 16b ) : 11 ( vì 11 là số nguyên tố )

= 16a + 17b : 11

    17a + 16b : 11

=G/s 16a + 17b : 11₍₁₎

Mà ( 16a + 17b ) + ( 17a + 16b ) = ( 33a + 33b ) = 11 ( 3a + 3b ) : 11

= 17a + 16b : 11₍₂₎

Từ ( 1 ) , ( 2 ) = ( 16a + 17b ) ( 17a  +16b ) : 121

Ta có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)

Giả sử \(16a+17b⋮11\)

\(\Rightarrow16a+17b+17a+16b=\left(16a+17a\right)+\left(17b+16b\right)=33a+33b=33\left(a+b\right)\)

Vì \(33⋮11\) nên \(33\left(a+b\right)⋮11\)

Mà \(16a+17b⋮11\)

\(\Rightarrow17a+16b⋮11\)

Lại có: 11 là số nguyên tố

\(\Rightarrow\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11^2=121\)

Vậy \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮121\).

Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Đặt tích: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)=P\)

\(P=\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\cdot\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)

P chia hết cho 11 thì

• Hoặc thừa số thứ nhất \(\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\) chia hết cho 11 => (a - b) chia hết cho 11 => Thừa số thứ 2: \(\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)cũng chia hết cho 11. Do đó P chia hết cho 11².
• Và ngược lại, Thừa số thứ 2 chia hết cho 11 ta cũng suy được thừa số thứ 1 cũng chia hết cho 11 và P cũng chia hết cho 11².

Vậy, P luôn có ít nhất 1 ước chính phương (khác 1) là 11². ĐPCM