Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)
\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )
\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )
Do a,b >0
Nên áp dụng BDT Cô Si :
\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)
Do đó (*) luôn đúng
Vậy ta chứng minh đc bài toán
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)
a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).
Bất đẳng thức trên tương đương :
\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0
\(\Leftrightarrow\)- \(\dfrac{b}{a^2+b}\)- \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)+ \(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1
Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)
\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$
$\Rightarrow C^2\leq 32.4$
$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
Mk ms tìm được GTNN thôi!
Ta có: A = a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)(1 - ab)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm a2 và b2 ta có:
a2 + b2 \(\ge\) 2ab
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 2ab
\(\Leftrightarrow\) 1 - 2ab \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) 1 - ab \(\ge\) ab
\(\Rightarrow\) A \(\ge\) ab(a + b)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = \(\sqrt{0,5}\)
\(\Rightarrow\) A \(\ge\) 0,5 . 2\(\sqrt{0,5}\) = \(\sqrt{0,5}\)
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)
\(A_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)
\(a^3+a^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}a^2\)
\(b^3+b^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}b^2\)
Cộng vế:
\(2\left(a^3+b^3\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
Ta có : \(a^2+3a=2\)
\(b^2+3b=2\)
=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)+3\left(a-b\right)=0\)
=> \(\left(a-b\right)\left(a+b+3\right)=0\)
=> a = b ( loại ) hoặc a + b = - 3 ( Thỏa mãn )
Ta có : \(a^2+3a=2\Rightarrow a^3=2a-3a^2\)
\(b^2+3b=2\Rightarrow b2b-3b^2\)
=> \(a^3+b^3=2a+2b-3\left(2-3a\right)-3\left(2-3b\right)\)
\(=11\left(a+b\right)-12=11\left(-3\right)-12=-45\)