Giả sử trong 2015 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát giải sử \(a_1< a_2< a_3< ......< a_{2015}\)

Vì \(a_1;a_2;a_3;....a_{2015}\)đều là các số nguyên dương nên \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{2016}\ge2016\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2015}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+\frac{1}{1026}+...+\frac{1}{2015}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{4}\cdot4+\frac{1}{8}\cdot8+....+\frac{1}{512}\cdot512+\frac{1}{1024}\cdot993\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+\frac{1}{2^3}\cdot2^3+......+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 1008\)

Trái với giải thiết. Do đó điều giả sử sai

Vậy trong 2015 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

a) A = \(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\)

Nhân \(\frac{1}{7^2}\)với A .Ta được : 

A .\(\frac{1}{7^2}\)= \(\frac{1}{7^4}-\frac{1}{7^6}+\frac{1}{7^8}-...-\frac{1}{7^{98}}+\frac{1}{7^{100}}-\frac{1}{7^{102}}\)

Ta có : \(\frac{1}{7^2}.A+A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)

\(\Rightarrow\frac{50}{49}.A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)

\(\Rightarrow A.\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\right).\frac{49}{50}< \frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)

b)Giả sử a₁ >a₂ > a₃ ...> a₂₀₁₅ nên a₁ > a₂₀₁₅ 

Theo đề ra ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< \frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+...+1=A\)

A< \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)\)có 2007 số \(\frac{1}{8}\)

Mà \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)< 1+1+...+\frac{2018}{8}\)

Giả sử trong 2015 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau .

Và a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₂₀₁₅ 

Ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2015}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2011}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+1007=1008\)

=> Giả sử là sai => ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau ( đpcm ) 

Ta thấy : \(a_1+a_2+a_3+.....+a_{2015}+a_1=1008.1=1008\)

Mà \(a_1+a_2+a_3+......+a_{2015}=0\)

\(\Rightarrow a_1+\left(a_1+a_2+a_3+....+a_{2015}\right)=1008\Leftrightarrow a_1+0=1008\)                                                                                                                                                                                                           \(\Rightarrow a_1=1008\) 

\(a_1+a_2+a_3+..+a_{2015}=0\)\(0\)

\(\Rightarrow\left(a_1+a_2\right)+...+\left(a_1+a_{2015}\right)\)\(=\frac{\left(2015-1\right)}{2}+1=1008\)

\(\Rightarrow a_1+\left(a_1+a_2+..+a_{2015}\right)=1008\)

\(\Rightarrow a_1=1008\)

Ta có:

\(a_1+a_2+...+a_{2015}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a_1+a_2\right)+\left(a_3+a_4\right)+...+\left(a_{2013}+a_{2014}\right)+\left(a_{2015}+a_1\right)-a_1=0\)

\(\Leftrightarrow1+1+...+1-a_1=0\)

\(\Leftrightarrow1008-a_1=0\)

\(\Leftrightarrow a_1=1008\)