Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x   1                 0               2

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: ∫ - 2 2 ln x + 1 + x 2 d x

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  [a;b] Giả  sử  hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và u ( x ) ∈ [ a ; b ]  hơn nữa u(x) liên tục trên đoạn [a;b]Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho số thực a>0. Giả  sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn f(x).(fa-x) = 1 Tính tích phân  ∫ 0 1 1 1 + f ( x ) d x

A. I = a/2

B. I = a

C. I = 2a/3

D. I = a/3

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi  x ∈ 0 ; a , ta có f(x) > 0 và f(x)f(a – x) = 1. Tính I = ∫ 0 a d x 1 + f ( x ) .

A. a 2 .

B. 2a.

C. a 3 .

D. aln(a + 1).

Cho hàm số y=f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1] và thỏa mãn ∫ 0 1 2 f ( x ) d x = 3 ,   ∫ 1 4 1 2 f ( 2 x ) d x = 1 . Tính I= ∫ - π 2 0 cos x f ( sin x ) d x  

Cho hàm số liên tục trên khoảng (a;b) và x 0   ∈   ( a ; b ) . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Hàm số đạt cực trị tại điểm x 0 khi và chỉ khi f ' ( x 0 )   =   0 .

(2) Nếu hàm số y   =   f ( x ) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x 0 )   =   f ' ' ( x 0 )   =   0 thì điểm  x 0 không phải là điểm cực trị của hàm số  y   =   f ( x ) .

(3) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm  x 0 thì điểm  x 0 là điểm cực tiểu của hàm số  y   =   f ( x ) .

(4) Nếu hàm số  y   =   f ( x ) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm  x 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x 0 )   =   0 ,   f ' ' ( x 0   )   >   0 thì điểm  x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y   =   f ( x ) .

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3