p=a^2+b^2 (1)

p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13  và a,b có 1 chẵn 1 lẻ

A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết  A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên

và c.p = a và d.p = b

thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p 

Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)

Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)

\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)

Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)

Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)

Làm tiếp đi 

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

Bài 1) +Với n = 2, ta có 2² + 2² = 4 + 4 = 8, là hợp số, loại

+Với n = 3, ta có 2³ + 3² = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn

+Với n > 3, do n nguyên tố nên n lẻ => n = 2k+1 ( k thuộc N*)

=> 2ⁿ = 2^2k+1 = 2^2k . 2 = (2^k)² . 2, do 2 không chia hết cho 3 => 2^k không chia hết cho => (2^k)² không chia hết cho 3

Mà (2^k)² là số chính phương nên (2^k)² chia 3 dư 1 => (2^k)² . 2 chia 3 dư 2.

Mặt khác n² không chia hết cho 3 do n nguyên tố > 3 nên n² chia 3 dư 1 => 2ⁿ + n² chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < 2ⁿ + n² nên 2ⁿ + n² là hợp số, loại

Vậy n = 3

Bài 2) Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p không chia hết cho 3 => p² không chia hết cho 3. Mà p² là số chính phương nên p² chia 3 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 3 (1)

Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p lẻ => p² lẻ => p² chia 8 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2), do (3,8)=1 nên p² - 1 chia hết cho 8

Chứng tỏ p² - 1 chia hết cho 8 với p nguyên tố không nhỏ hơn 5

Lời giải:
Nếu $p$ không chia hết cho $3$ thì $p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 8p^2+1\equiv 8+1\equiv 0\pmod 3$

Mà $8p^2+1>3$ nên $8p^2+1$ không là snt (trái giả thiết)

Vậy $p=3$. Khi đó $8p^2-1=71$ là số nguyên tố (đpcm)