Câu hỏi của Thái Dương Lê Văn

Question

Giá trị lớn nhất của biểu thức B = xyz (x+y)(y+z)(z+x)  với $x;y;z\ge0$; x+y+z=1 là K .Khi đó  93.k =?(Mọi người ơi ! Giải hộ tớ bài này với ! )

Akai Haruma · Accepted Answer

Biến đổi:

$8B=8xyz[(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz]=8xyz(xy+yz+xz-xyz)$

Áp dụng BĐT Am-Gm dạng $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow 8B\leq\left(\frac{xy+yz+xz+7xyz}{2}\right)^2$

Bằng Am-Gm dễ dàng chứng minh $xy+yz+xz\leq\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3};xyz\leq\frac{1}{27}$

Do đó: $8B\leq\frac{64}{729}\Rightarrow B_{max}=\frac{8}{729}$ $\Rightarrow 9^3k=\frac{8}{729}.9^3=8$Câu trả lời: Biến đổi:

$8B=8xyz[(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz]=8xyz(xy+yz+xz-xyz)$

Áp dụng BĐT Am-Gm dạng $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow 8B\leq\left(\frac{xy+yz+xz+7xyz}{2}\right)^2$

Bằng Am-Gm dễ dàng chứng minh $xy+yz+xz\leq\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3};xyz\leq\frac{1}{27}$

Do đó: $8B\leq\frac{64}{729}\Rightarrow B_{max}=\frac{8}{729}$ $\Rightarrow 9^3k=\frac{8}{729}.9^3=8$