Cho cách giải chi tiết nha

x+y=4 nên xảy ra các trường hợp là x=0,y=4 ; x=1,y=3 ; x=2,y=2 ; x=3,y=1 ; x=4,y=0

TH1: x=0,y=4

=>\(\sqrt{-1}\)+\(\sqrt{2}\)thì ko có chuyện đó

TH2: x=1,y=3

=>\(\sqrt{0}\)+\(\sqrt{1}\)bằng 1

TH3:x=2,y=2

=>\(\sqrt{1}\)+\(\sqrt{0}\)bằng 1

TH4:x=3,y=1 bằng 1 bạn tự  tính

TH5: x=4,y=0 thì cũng ko có chuyện đó

Vậy tổng S lớn nhất là 1.

k mình nhé hơi thủ công

Tại mình giải theo kiểu lớp 6 và ... bấm máy tính bạn ah

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}>=0\\\sqrt{y-2}>=0\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}x-1>=0\\y-2>=0\end{cases}}\)

\(=>\)Chỉ còn 2 trường hợp

TH1:\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)

\(< =>S=\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}\)

\(< =>S=1\)

TH2:\(\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

\(=>S=\sqrt{1-1}+\sqrt{3-2}\)

\(=>S=1\)

Vậy GTLN của S=1, Khi x=2,y=2 hoặc x=1,y=3

căn(x-2)+căn(y-4)>=(x-2+1)/2+(y-4+1)/2=(x-1+y-3)/2=26

\(\Rightarrow M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}}{x}+\dfrac{4\sqrt{y-4}}{4y}\le\dfrac{x-1+1}{2x}+\dfrac{y-4+4}{4y}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=2;y=8\)

Gọi \(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

Ta có : \(A^2=x-3+y-4=2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}=x+y-7+2\sqrt{2\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

\(=1+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

Theo AM - GM ta có : \(2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\le x-3+y-4=x+y-7=8-7=1\)

\(\Rightarrow A^2\le1+1=2\Rightarrow A\le\sqrt{2}\)Có GTLN là \(\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-3=y-4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x+y=8\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)

\(3=x+y+xy\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}+3\sqrt{2}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-2\)

\(P=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\dfrac{x+y}{4}\le\sqrt{2\left(9-x^2+9-y^2\right)}+\dfrac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{4}\)

\(P\le\sqrt{2\left(18-x^2-y^2\right)}+\dfrac{1}{4}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{18-x^2-y^2}+\sqrt[]{2}\sqrt{\dfrac{\left(18-x^2-y^2\right)}{2}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)

\(P\le\left(\sqrt{2}-1\right).\sqrt{18-2}+\sqrt{\left(2+\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{18-x^2-y^2+x^2+y^2}{2}\right)}=\dfrac{1+8\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

\(S=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

ĐK:\(x\ge 3;y\ge 4\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(S^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(x-3+y-4\right)\)

\(=2\left(x+y-7\right)=2\)

\(\Rightarrow S^2\le2\Rightarrow S\le\sqrt{2}\)

đkxđ: \(z\ge1;x\ge2;y\ge3\)

Đặt \(a=\sqrt{z-1}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0;c=\sqrt{y-3}\ge0\)

\(\Rightarrow z=a^2+1;x=b^2+2;y=c^2+3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+2}+\dfrac{c}{c^2+3}\)

Do các biến \(a,b,c\) độc lập nhau nên ta xét từng phân thức một.

Đặt \(f\left(a\right)=\dfrac{a}{a^2+1}\) \(\Rightarrow f\left(a\right).a^2-a+f\left(a\right)=0\) (*)

Nếu \(f\left(a\right)=0\) thì \(a=0\), rõ ràng đây không phải là GTLN cần tìm.

Xét \(f\left(a\right)\ne0\)

Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left[f\left(a\right)\right]^2\ge0\) 

\(\Leftrightarrow\left(1+2f\left(a\right)\right)\left(1-2f\left(a\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le f\left(a\right)\le\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1=2a\Leftrightarrow a=1\) (nhận)

Vậy \(max_{f\left(a\right)}=\dfrac{1}{2}\).

 Tiếp đến, gọi \(g\left(b\right)=\dfrac{b}{b^2+2}\) \(\Rightarrow g\left(b\right).b^2-b+2g\left(b\right)=0\) (**)

 Tương tự nếu \(b=0\) thì vô lí. Xét \(b\ne0\). Khi đó để (**) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-8\left[g\left(b\right)\right]^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\left(1+2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\le g\left(b\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(g\left(b\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{b}{b^2+2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow b^2+2=2\sqrt{2}b\Leftrightarrow b=\sqrt{2}\) (nhận)

Vậy \(max_{g\left(b\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

Làm tương tự với \(h\left(c\right)=\dfrac{c}{c^2+3}\), ta được \(max_{h\left(c\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\), xảy ra khi \(c=\sqrt{3}\)

Vậy GTLN của A là \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\), xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\) hay \(\left(x,y,z\right)=\left(2,4,6\right)\).

Cái chỗ cuối mình sửa thế này nhé