Làm biếng gõ lại:

Câu hỏi của Đỗ Thị Ánh Nguyệt - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x+y} + \sqrt{2x+y} = 5 & \\ ... - Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình - Diễn đàn Toán học

1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0

Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)

\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))

Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a^2\\y=b^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(a^2-b^2+1\right)^2+6\left(b^2-1\right)-2a^2+4}=a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2+1\right)^2+6b^2-2a^2-2=\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)^2+4\left(a^2-b^2\right)+2+6b^2-2a^2-2=\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2+2b^2=\left(a+b\right)^2\)

Ta có:

\(VT=2\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2+2b^2\ge2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

\(\Leftrightarrow x=y+1\)

Thay vào pt đầu:

\(\sqrt{3-y}+\sqrt{y+8}=y^2+7y+6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y+1+\left(y+2-\sqrt{3-y}\right)+\left(y+3-\sqrt{y+8}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y+1+\frac{y^2+5y+1}{y+2+\sqrt{3-y}}+\frac{y^2+5y+1}{y+3+\sqrt{y+8}}=0\)

Trừ pt trên cho dưới ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=x-y+4\\\sqrt{2x+y}=y-x+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x+y=\left(x-y+4\right)^2\\2x+y=\left(y-x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Lại trừ trên cho dưới:

\(5x=5\left(2x-2y+3\right)\Leftrightarrow x=2y-3\)

Thay vào pt dưới:

\(2y-3-y+\sqrt{2\left(2y-3\right)+y}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5y-6}=4-y\) (\(y\le4\))

\(\Leftrightarrow5y-6=y^2-8y+16\)

\(\Leftrightarrow y^2-13y+22=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=11>4\left(l\right)\\y=2\Rightarrow x=1\end{matrix}\right.\)

Do giai đoạn biến đổi ban đầu ko có điều kiện nên cần thay nghiệm vào hệ để thử, thấy thoả mãn, vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

ĐKXĐ:...

Từ pt đầu:

\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=x-2y+\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow y^2+1+2y\sqrt{y^2+1}+y^2=2x-4y+2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=2x-4y+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=\sqrt{2x-4y+2}\)

Thế xuống pt dưới:

\(x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{y^2+1}+2y\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}=2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+4}\)

Do hàm \(t+\sqrt{t^2+4}\) đồng biến

\(\Leftrightarrow x-1=2y\Rightarrow x=2y+1\)

Thế vào pt đầu:

\(\left(y+1\right)^2+y\sqrt{y^2+1}=2y+\dfrac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=2-y\)

\(\Leftrightarrow...\)

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(x+\sqrt{\left(x+1\right).y}=2y-1\)

\(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)y}-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y}\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right.\) (tm)

Thử lại ta có (x;y) = (-1;0) là 1 nghiệm của hệ phương trình

Từ (1) ta có : x + 1 = y

Khi đó \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}=x^2-y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\end{matrix}\right.\)

Với x = 3 => y = 4 (tm)

Với \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\)

Vì \(x\ge-1\) nên \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\le\dfrac{1}{2}\)

nên \(VT\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\) 

lại có  \(VP\ge1\) khi x \(\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = -1 => y = 0 (tm)

Vậy (x;y) = (-1;0) ; (3;4) 

đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\\x^2>y\end{matrix}\right.\)

pt đầu \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)y}=2y-x-1\) 

\(\Rightarrow\left(x+1\right)y=4y^2+x^2+1+2x-4xy-4y\)

\(\Leftrightarrow x^2+4y^2-5xy+2x-5y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-4y\right)+\left(x-y\right)+\left(x-4y\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x-4y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+1\\x=4y-1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y=x+1\) thay vào pt thứ hai, ta được 

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\) 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\end{matrix}\right.\)

TH1.1: \(x=3\Rightarrow y=x+1=4\) (nhận)

TH1.2:\(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\) (chỗ này mai mình nghĩ tiếp)

TH2: \(x=4y-1\). Thay vào pt thứ hai, ta được 

\(\sqrt{8y+1}+\sqrt{y}=16y^2-9y+1\) 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{8y+1}-1\right)+\sqrt{y}=16y^2-9y\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8y}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{y}{\sqrt{y}}-16y^2+9y=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\end{matrix}\right.\)

TH2.1: \(y=0\) \(\Rightarrow x=4y-1=-1\) (nhận)

TH2.2: \(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\)

(đoạn này để mai mình nghĩ tiếp nhé, ta tìm được các nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(3;4\right)\))