Trừ theo vế hai pt đầu của hệ:

(x-y)(x+y-z)=0\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y=z\end{matrix}\right.\)

Xét x=y. Khi đó ta có hệ mới:\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+yz=4\\z^2+y^2=10\end{matrix}\right.\)

=>5y²+5yz=2z²+2y²<=>3y²+5yz-2z²=0<=>\(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{3}z\\y=-2z\end{matrix}\right.\)

y=-2z=>(-2z)²-2z.z=4<=>2z²=4<=>\(\left[{}\begin{matrix}z=\sqrt{2}\rightarrow x=y=-2\sqrt{2}\\z=-\sqrt{2}\rightarrow x=y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(y=\frac{1}{3}z\Rightarrow\left(\frac{1}{3}z\right)^2+\frac{1}{3}z.z=4\Leftrightarrow z^2=9\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=3\rightarrow x=y=1\\z=-3\rightarrow x=y=-1\end{matrix}\right.\)

Xét x+y=z. Cộng theo vế hai pt đầu:

x²+y²+(x+y)²=8

=>4[(x+y)²+xy]=5[(x+y)²+x²+y²]<=>3x²-xy+3y²=0(pt vô nghiệm)

x + y + z = 6 => (x + y + z)² = 36

=> x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 36

=> x² + y² + z² = 36 - 2.12 = 12

=> x² + y² + z² = xy + yz + zx

Ta có VT \(\ge\) VP. Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Thay vào hệ ta có (x; y; z) = (2; 2; 2)

Cộng vế với vế:

\(x^2+2xy+y^2+x+y=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-4\\x+y=3\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\xy=5-\left(x+y\right)=9\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, x và y là nghiệm: \(t^2-4t+9=0\) (vô nghiệm)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=5-\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, x và y là nghiệm:

\(t^2-3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)

Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)

\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+y^2+y=8\\\left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=12\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=u\\y^2+y=v\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=8\\uv=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(u;v\right)=\left(6;2\right);\left(2;6\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=6\\y^2+y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)

TH2: ... tương tự

cảm ơn thầy ạ 3>