Lời giải:

Ta biết rằng một số lập phương khi chia 9 có thể nhận dư là $0,1,8$

Tức là:

$a^3\equiv 0,1,8\pmod {9}$

$b^3\equiv 0,1,8\pmod {9}$

$\Rightarrow a^3-b^3\equiv 0,-1,-8, 1,-7, 8, 7\pmod {9}$

Hay $a^3-b^3\equiv 0,8, 1, 2, 7\pmod {9}$

Mà $2019\equiv 3\pmod {9}$

Do đó không tồn tại số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^3-b^3=2019$ (đpcm)

Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x; y) sao cho \(x^2-2018=y^2\)

\(\Rightarrow x^2-y^2=2018\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2018\)

Dễ c/m: x  và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Vì nếu 1 trong 2 số x,y lẻ thì tích (x=y)(x-y) lẻ, vô lí)

Lúc đó \(\hept{\begin{cases}x+y⋮2\\x-y⋮2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)⋮4\)

Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều g/s là sai

Vậy không tồn tại cặp số nguyên x,y thoả mãn \(x^2-2018=y^2\)(đpcm)

Ta có : x² - 2018 = y²

=> x² - y² = 2018

=> (x + y)(x - y) = 2018 

Nếu x ; y \(\inℤ\)ta có : 2018 = 1.2018 = 2.1009 = (-1).(-2018) = (-2).(-1009)

Lập bảng xét 8 trường hợp ta có : 

=> Không tồn tại cặp số nguyên x,y thỏa mãn

Ta có: (a+b)³=a³+b³+3ab.(a+b)=2013+3ab.(a+b) chia hết cho 3

Do đó: (a+b)³ chi hết cho 3 

=> (a + b) chia hết cho 3 

=> (a+b)³ chia hết cho 27.

Ta có: 3ab.(a+b) chia hết cho 9 

 2013 = (a+b)³−3ab.(a+b) chia hết cho 9: vô lý vì 2013 chia 9 dư 6

 Vậy không tồn tại hay hai số nguyên dương a và b thỏa mãn đề bài

thằng trẻ trâu

cmr (a-b)³chia hết cho 3 suy ra a-b chia hết cho 3 suy ra a-b tất cả mũ 3 chia hết cho 9 suy ra a³-b³ chia hết cho 9 vô lí vì 123123 ko chia hết cho 9

Lời giải:
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=2013$

$\Rightarrow (a+b)^3=3ab(a+b)+2013\vdots 3$

$\Rightarrow a+b\vdots 3$

$\Rightarrow (a+b)^3\vdots 27$ và $3ab(a+b)\vdots 9$

Do đó:

$2013=(a+b)^3-3ab(a+b)\vdots 9$ 

Điều này vô lý do $2013\not\vdots 9$

Vậy không tồn tại $a,b$ nguyên thỏa mãn đề.

\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)

\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)

Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)

\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)