Nghĩ ra cách lm rồi nên lại đăng lên!!!

Xét hiệu \(\left(x^2+1\right)^2-y^2=x^2\ge0\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\ge y\)

Xét hiệu \(y^2-\left(x^2\right)^2=x^2+1>0\Rightarrow y^2>\left(x^2\right)^2\Rightarrow\left(x^2\right)^2< y^2\le\left(x^2+1\right)^2\)

Do đó: \(y^2=\left(x^2+1\right)^2\) 

Thay vào phương trình ban đầu ta đc:

\(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\orbr{\begin{cases}1\\-1\end{cases}}\)

\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

x( x² + x + 1 ) = 4^y - 1

<=> ( x² + 1 )( x + 1 ) = 4^y

Vì x,y là số nguyên nên x, y > 0

+) Nếu x = 0 thì y = 0 ( tm )

+) Nếu x > 0 thì y > 0

Do đó 4^y là số chẵn nên x + 1 là số chẵn

Đặt x = 2k + 1( k ∈ N ) Khi đó ta có :

( 2k² 2k + 1 )( k + 1 ) = 4^{y - 1}

Vì 4^{y - 1} chì có ước lẻ là 1 . Mà 2k² + 2k + 1 là ước lẻ của 4^{y - 1}

nên k  = 0

=> x = 1 => y = 1

Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x;y ) là ( 0;0 ) ; ( 1 ; 1 )

a)

\(\Leftrightarrow yz=z^2+2z+3\Leftrightarrow z\left(y-2-z\right)=3\)

\(\hept{\begin{cases}z=\left\{-3,-1,1,3\right\}\\y-2-z=\left\{-1,-3,3,1\right\}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\left\{-2,0,2,4\right\}\\y=\left\{-2,-4,6,6\right\}\end{cases}}}\)

\(y^2\left(y^2-1\right)+2y\left(y^2-1\right)-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+2y\right)\left(y^2-1\right)-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)\left(y-1\right)\left(y+2\right)-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+y\right)\left(y^2+y-2\right)-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+y\right)^2-2\left(y^2+y\right)-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+y-1\right)^2-1-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2y-2\right)^2-\left(2x+1\right)^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2y-2x-3\right)\left(2y^2+2y+2x-1\right)=3\)

Pt ước số

mình đoán là xét x=0 >>>vô số y,z vs y=-z;yz-1=0??yz=1 >>Y=-z,vô lí

XÉt x khác 0>>>2(y+z)/x=yz-1>>>2 chia hết cho x hoặc z-1 chia hết cho x

2 chia hết cho x tự xét còn y+z chia hết cho x thì bạn cũng lm tương tự

xét (y-1)(z-1)=-2;-1;1;2 rồi thay vào x xem thỏa mãn ko

- xét (y-1)(z-1)>2

<=>yz-1>y+z

+   với x<0

=>2(y+z)>x(yz-1)

+   với x=1 rồi thay vô

+   với x>1=>2(y+z)<x(yz-1)

-  xét (y-1)(z-1)<0

<=>yz-1<y+z

sau đó làm tương tự như xét với yz-1>y+z

Các bn giải theo phương pháp sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc hai giúp mk ạ!

mình có 1 cách khác nữa:
 vì y ∈ Z nên \(\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\) ∈ Z 
=>x²-x+1⋮x²+x+1=> x²+x+1 -2x ⋮x²+x+1
=>2x⋮x²+x+1 (1)
Xét hiệu (x²+x+1)-2x=(x-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{3}{4}\)>0
=>x²+x+1 > 2x (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với 2x và x²+x+1 ∈ Z 
=> 2x =0 => x =0 => y=1 
Vậy phương trình có nghiệm (x,y) là (0,1)