1.

HPT  \(\left\{\begin{matrix} (x+1)(y-1)=xy+4\\ (2x-4)(y+1)=2xy+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy-x+y-1=xy+4\\ 2xy+2x-4y-4=2xy+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x+y=5\\ 2x-4y=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-29}{2}\\ y=\frac{-19}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy.............

2.

ĐKXĐ: $x\in\mathbb{R}$

$x^2+x-2\sqrt{x^2+x+1}+2=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)-2\sqrt{x^2+x+1}+1=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+x+1}-1)^2=0$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+x+1}=1$

$\Rightarrow x^2+x=0$

$\Leftrightarrow x(x+1)=0$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-1$

Đặt x-1=t (a)  x^2-2x+2=v (b)

x^4=(v+2t)^2

(v+2t)^2+v*t=0   (*)\(\Rightarrow\)  v^2+6vt+4t^2=0\(\Rightarrow\)    (v/t)^2+6v/t+4=0   \(\Rightarrow\frac{v}{t}=-1;-2\)

Thay vào (*) tìm ra t hoặc v sau đó thay vào (a) và (b) là đươc ...

2x⁴-x³-2x²-x+2=0

\(\Leftrightarrow\)2x⁴-2x³+x³-x²-x²+x-2x+2 =0

\(\Leftrightarrow\)2x³(x-1)+x²(x-1)-x(x-1)+2(x-1)=0

\(\Leftrightarrow\)(x-1)(2x³+x²-x+2)=0

\(\Leftrightarrow\)(x-1)(x-1)(2x²+3x+2)=0

\(\Leftrightarrow\)(x-1)²(2x²+3x+2)=0

\(\Leftrightarrow\) x-1=0 (do 2x²+3x+2 >0)

\(\Leftrightarrow\)x=1

đặt đk...

pt đã cho \(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+4\right)+3\sqrt{x^2-2x+4}-4=0\)

giải pt trùng phương: đặt căn bằng t, điều kiện cho t xuất hiện pt bậc 2 một ẩn t

Đk: x thuộc R

pt đã cho \(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+4\right)+3\sqrt{x^2-2x+4}-4=0\) (*)

đặt \(t=\sqrt{x^2-2x+4}\left(t\ge0\right)\)

pt (*) trở thành: \(t^2+3t-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(N\right)\\t=-4\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

với t=1, ta có: \(\sqrt{x^2-2x+4}=1\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\left(VN\right)\)

Kl: pt (*) vô nghiệm

Lời giải:

a) Với \(m=0\) phương trình trở thành:

\((x^2-2x-3)(x^2-2x+3)=0\Leftrightarrow (x-3)(x+1)(x^2-2x+3)=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x-3=0\\x+1=0\\x^2-2x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left[\begin{matrix}x=3\\x=-1\\\left(x-1\right)^2+2=0\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in \left\{-1,3\right\}\)

b) Để PT có $4$ nghiệm phân biết thì phương trình \(x^2-2x+2m+3=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\) và \(3\)

Tức là \(\left\{\begin{matrix} \Delta' =1-(2m+3)>0\\ 3^2-2.3+2m+3\neq 0\\ (-1)^2-2(-1)+2m+3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1\\ m\neq -3\\ \end{matrix}\right.\)

c) Áp dụng định lý Viet cho PT \(x^2-2x+2m+3=0\) có nghiệm thỏa mãn:\(\left\{\begin{matrix}x_3+x_4=2\\x_3x_4=2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(A=x_1x_2x_3x_4=-3x_3x_4=-3(2m+3)\)

Ta có với mọi \(x_3,x_4\in\mathbb{R}\) thì đều có \(x_3x_4\leq \left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow -3x_3x_4\geq -3\) (khi nhân với số âm thì đổi dấu)

\(\Rightarrow A_{\min }=-3\Leftrightarrow m=-1\)

Câu b với c không liên quan đến nhau phải không? Nếu không thì không tìm được min đâu.

sửa đề: pt \(\left(x^2-2x-3\right)\left(x^2-2x+2m+3\right)=0\)

\(x^4+\left(x-1\right)\left(x^2-2x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-3x^2+4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-x+1\right)+2x\left(x^2-x+1\right)-2\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)=0\)

đến đây tự giải nhé

Đặt \(\sqrt{x}=a\ge0\) ta được:

\(a^4-a^3-2a^2-2a+4=0\)

\(\Leftrightarrow a^4+2a^3+2a^2-3a^3-6a^2-6a+2a^2+4a+4=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a^2+2a+2\right)-3a\left(a^2+2a+2\right)+2\left(a^2+2a+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-3a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2-3a+2=0\\a^2+2a+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 2 nghiệm \(x=1;x=4\)