\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\le1;2\le x\\-3\le x\le4\\x\le-2;2\le x\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-3\le x\le-2\\2\le x\le4\end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có tập nghiệm T = \(\left[-3;-2\right]\cup\left[2;4\right]\)

\(\begin{cases}\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\end{cases}\)  (1)

Xét các bất phương trình thành phần

\(\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)  (a)

\(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\)  (b)

Ta có T(1)=T(a)\(\cap\) T(b)

Lập bảng xét dấy 

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\)

Từ bảng xét dấu ta được T(a) = \(\left[-1;1\right]\cup\left[2;+\infty\right]\)

Từ : \(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\) ta có các nghiệm x= a; x=2a+1

- Nếu \(a\le2a+1\Leftrightarrow a\ge-1\) thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Xét các trường hợp sau :

         + Trường hợp 1 :

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\-1\le2a+1\le1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\0\le a\le0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

          + Trường hợp 2 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\1<2a+1<2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\a\in\left\{0;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\)

    + Trường hợp 3 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\2\le2a+1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\\frac{1}{2}\le a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{2}\le a\le1\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 4

   1<a<2 suy ra 2a+1>3>2. Khi đó ta có Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 5 :

   a\(\ge\)2 suy ra 2a+1 \(\ge\) a \(\ge\) 2. Khi đó T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

- Nếu 2a+1<a \(\Leftrightarrow\) a<-1 thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Khi đó ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

Từ đó ta kết luận :

+ Khi a<-1 hệ vô nghiệm T(1) =\(\varnothing\)

+  Khi \(-1\le a\le0\) hoặc \(a\ge2\) hệ có tập nghiệm T (1) = \(\left[a;2a+1\right]\)

+ Khi 0<a<\(\frac{1}{2}\)  hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\)

+ Khi \(\frac{1}{2}\)\(\le\)a \(\le\)1 hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

+ Khi 1<a<2, hệ có tập nghiệm T(1) =\(\left[2;2a+1\right]\)

\(\begin{cases}x^2-3x+2=0\\x^2-100=0\\2x^2-x-1\le0\\x^2-6x-55\ge0\end{cases}\)  (1) \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x=1\\x=-10\\-\frac{1}{2}\le x\le1\\x\le-5\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=2\\x=10\\-\frac{1}{2}\le x\le1\\11\le x\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\in\left(-\infty;-5\right)\cup\left[-\frac{1}{2};1\right]\cup\left\{2;10\right\}\cup\left(11;+\infty\right)\)

Vậy hệ đã cho có tập nghiệm

T(1) = \(\left(-\infty;-5\right)\cup\left[-\frac{1}{2};1\right]\cup\left\{2;10\right\}\cup\left(11;+\infty\right)\)

\(\begin{cases}x^2+7x-8\le0\\a^2x+1>3+\left(3a-2\right)x\end{cases}\) (1)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x^2+7x-8\le0\\\left(a^2-3a+2\right)x>2\end{cases}\)

ta đặt 

\(x^2+7x-8\le0\)  (a)

\(\left(a^2-3a+2\right)x>2\) (b)

(1) Vô nghiệm khi và chỉ khi T(a)\(\cap\)T(b) = \(\varnothing\)

Dễ thấy T(a) = \(\left[-8;1\right]\). Đặt m:=\(a^2-3a+2\), xét các trường hợp sau : 

- Nếu a=1 hoặc a=2 thì 

\(\left(a^2-3a+2\right)x>2\) \(\Leftrightarrow\) 0.x > 2 \(\Rightarrow\) T ( b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

- Nếu \(a\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(2;+\infty\right):=\)(*) thì m >0 nên T(b) có nghiệm \(x>\frac{2}{m}\) Ta có :

T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2}{m}\ge1\)

                             \(\Leftrightarrow\)  \(2\ge m=a^2-3a+2\) ( do m>0 trong (*)

                            \(\Leftrightarrow\) \(a^2-3a\le0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(0\le a\le3\)

Kết hợp với điều kiện \(a\in\)(*) được \(0\le a<1\) hoặc 2<a\(\le\)3

- Nếu \(a\in\)(1;2) thì m<0 nên T(b) có nghiệm \(x<\frac{2}{m}\) Ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2}{m}\le-8\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\ge-8m=-8\left(a^2-3a+2\right)\) (do m<0 trong (1;2) 

\(\Leftrightarrow\) \(4a^2-12a+9\ge0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left(2a-3\right)^2\ge0\) luôn đúng

Vậy với  \(a\in\)(1;2) thì (1) vô nghiệm. Tóm lại ta được 0\(\le a\le\)3 là các giá trị cần tìm

\(\hept{\begin{cases}x^2-3x-4\le0\left(1\right)\\x^3-3\left|x\right|\cdot x-m^2+6m\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) có tập nghiệm là [-1;1]

(2) <=> \(x^3-3\left|x\right|\cdot x\ge m^2-6m\)

Xét đồ thị hàm số \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x=\hept{\begin{cases}x^3-3x^2\left(x\ge0\right)\\x^3+3x^2\left(x\le0\right)\end{cases}}\)trên [-1;4]

Trên đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y=m²-6m (m là tham số) có vị trí "ở dưới" đồ thị \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x\)thì \(m^2-6m\le16\) lúc đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm

\(m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\Leftrightarrow-2\le m\le8\)

\(\hept{\begin{cases}x+m\le0\\-x+5< 0\end{cases}\hept{\begin{cases}x\le-m\\x< -5\end{cases}\hept{\begin{cases}x\in\left(-\infty;-m\right)\\x\in\left(-\infty;-5\right)\end{cases}}}}\)bạn sửa lại chỗ trên nha là nửa khoảng

\(+-m\ge-5\)

\(m\le5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left(-m;-\infty\right)\)

\(+-m< 5\)

\(m>5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left\{-\infty;-5\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\mx+1-m\le0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2\\x\le\dfrac{-1+m}{m}\end{matrix}\right.\)

để hpt trên có nghiệm thì \(\dfrac{-1+m}{m}\le2\) ĐK m ≠ 0

\(< =>m\ge-1\)

Vậy .....

\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) \(\Rightarrow D_1=\left[1;2\right]\)

Xét \(mx\le m-1\)

- Với \(m=0\) BPT vô nghiệm

- Với \(m>0\Leftrightarrow x\le\dfrac{m-1}{m}\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;\dfrac{m-1}{m}]\)

Hệ có nghiệm khi \(D_1\cap D_2\ne\varnothing\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\ge1\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

- Với \(m< 0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{m-1}{m}\Rightarrow D_2=[\dfrac{m-1}{m};+\infty)\)

\(D_1\cap D_2\ne\varnothing\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\le2\)

\(\Leftrightarrow m-1\ge2m\Rightarrow m\le-1\)

Vậy \(m\le-1\)