Điều kiện

\(x+1\ne0\Leftrightarrow x\ne-1\) (*)

Với điều kiện đó

* Nếu \(m=1\) thì phương trình vô nghĩa, do đó vô nghiệm

* Nếu \(m\ne1\) thì 

\(\frac{x-3}{m-1}=\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=m-1\Leftrightarrow f\left(x\right):=x^2-2x-m-2=0\)

Phương trình bậc hai \(x^2-2x-m-2=0\) có \(\Delta'=m+3\). Xét các trường hợp sau :

* Nếu \(\Delta'<0\)   

hay \(m<-3\) 

thì \(x^2-2x-m-2=0\) vô nghiệm

* Nếu \(\Delta'\ge0\)   

hay \(m\ge-3;m\ne1\) 

thì \(x^2-2x-m-2=0\)  có hai nghiệm

\(x_{1;2}=1\pm\sqrt{m+3}\)

Do \(m\ne1\) nên \(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-2\left(-1\right)-m-2=1-m\ne0\) 

hay là với mọi \(m\ne1\),

phương trình  \(x^2-2x-m-2=0\) 

không có nghiệm \(x=-1\)

Nói cách khác, hai nghiệm \(x_{1;2}\) cùng thỏa mãn điều kiện (*). Ta có kết luận :

- Khi \(m<-3\) hoặc \(m=1\) Phương trình vô nghiệm

-  Khi \(m\ge-3\) hoặc \(m\ne1\) Phương trình co hai nghiệm \(x=1\pm\sqrt{m+3}\)

khó quá, đề có vấn đề k v

b/ \(\Leftrightarrow-4< \frac{-2x^2-mx+4}{x^2-x+1}< 6\)

Do \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với mọi x nên BPT tương đương:

\(-4\left(x^2-x+1\right)< -2x^2-mx+4< 6\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\\8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\end{matrix}\right.\)

Cả 2 BPT đều đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=\left(m+4\right)^2-64< 0\\\Delta_2=\left(m-6\right)^2-64< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+8m-48< 0\\m^2-12m-28< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-12< m< 4\\-2< m< 14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-2< m< 4\)

c/ Do \(2x^2-3x+2=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\) với mọi x, BPT tương đương:

\(-\left(2x^2-3x+2\right)\le x^2+5x+m< 7\left(2x^2-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x+m\ge-2x^2+3x-2\\14x^2-21x+14>x^2+5x+m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+2x+m+2\ge0\\13x^2-26x-m+14>0\end{matrix}\right.\)

Để 2 BPT đều đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-12\left(m+2\right)\le0\\13^2-13\left(-m+14\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-20\le12m\\-13+13m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{5}{3}\le m< 1\)