a) -Xét △AMB có: MD là tia phân giác của \(\widehat{AMB}\) (gt)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AD}{BD}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

-Xét △AMC có: ME là tia phân giác của \(\widehat{AMC}\) (gt)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AE}{CE}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

Mà \(BM=CM\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AE}{CE}\)

Mà ​\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AD}{BD}\left(cmt\right)\) nên \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\).​

-Xét △ABC có: \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) DE//BC (định lí Ta-let đảo).

b) -Xét △ABM có: DG//BM.

\(\Rightarrow\dfrac{DG}{BM}=\dfrac{AG}{AM}\) (hệ quả định lí Ta-let).

--Xét △ACM có: EG//CM.

\(\Rightarrow\dfrac{EG}{CM}=\dfrac{AG}{AM}\)(hệ quả định lí Ta-let).

Mà \(\dfrac{DG}{BM}=\dfrac{AG}{AM}\) (cmt) ; \(BM=CM\) (M là trung điểm BC)

\(\Rightarrow\) \(DG=EG\) nên G là trung điểm DE.

*Giả sử G là trung điểm AM.

-Ta có: \(\widehat{AMB};\widehat{AMC}\) là 2 góc kề bù.

Mà MB, MC lần lượt là tia phân giác của ​\(\widehat{AMB},\widehat{AMC}\) (gt)​

\(\Rightarrow\widehat{DME}=90^0\) (định lí về góc được tạo bởi hai tia phân giác của 2 góc kề bù).

-Xét tứ giác AEMD có:

G là trung điểm của AM (gt)

G là trung điểm của DE (cmt)

\(\Rightarrow\) AEMD là hình bình hành mà \(\widehat{DME}=90^0\) (cmt)

\(\Rightarrow\) AEMD là hình chữ nhật nên \(\widehat{BAC}=90^0\).

-Vậy △ABC vuông tại A thì G là trung điểm AM.

c) -Ta có: \(AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\left(cm\right)\); \(BC^2=400\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

-Xét △ABC có: \(AB^2+AC^2=BC^2\) (cmt)

\(\Rightarrow\)△ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo).

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.12.16=96\left(cm^2\right)\)

-Ta có: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACM}}=\dfrac{BC}{CM}\) (△ABM, △ABC có cùng đỉnh A và B,M,C thẳng hàng).

Mà \(BC=2CM\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACM}}=\dfrac{2CM}{CM}=2\)

\(\Rightarrow S_{ACM}=\dfrac{S_{ABC}}{2}=\dfrac{96}{2}=48\left(cm^2\right)\)

-Xét △ABC có: AN là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BN}{CN}\) (định lí đường phân giác trong tam giác).

Mà \(\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}}\)(△ABN, △ACN có cùng đỉnh A và B,N,C thẳng hàng).

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}}+1=\dfrac{3}{4}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACN}}=\dfrac{7}{4}\)

\(\Rightarrow S_{ACN}=\dfrac{4}{7}.S_{ABC}=\dfrac{4}{7}.96=\dfrac{384}{7}\left(cm^2\right)\)

-Vì \(AB< AC\left(12cm< 16cm\right)\) nên \(BN< CN\)

\(\Rightarrow S_{ANM}=S_{ACN}-S_{ACM}=\dfrac{384}{7}-48=\dfrac{48}{7}\left(cm^2\right)\)

Gọi chiều rộng là x

Chiều dài là x+15

Theo đề, ta có phương trình:

\(\left(x+5\right)\left(x+12\right)=x\left(x+15\right)+80\)

\(\Leftrightarrow x^2+17x+60-x^2-15x=80\)

=>2x+60=80

=>x=10

Vậy: Chiều rộng là 10m

Chiều dài là 25m

Gọi độ dài quãng đường là x

Theo đề, ta có: 

\(\dfrac{x}{42}-\dfrac{x}{46}=\dfrac{3}{4}\)

hay x=362,25(km)

Gọi quãng đường AB là x (x>0)

Vận tốc xe máy đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{30}\)

Vận tốc xe máy lúc về là \(\dfrac{x}{35}\)

Theo đề bài, ta có:

\(\dfrac{x}{30}-\dfrac{x}{35}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7x-6x}{210}=\dfrac{70}{210}\)

\(\Leftrightarrow x=70\left(km\right)\left(tm\right)\)

Vậy quãng đường AB là 70km

\(d,=\dfrac{3y}{5x\left(x-y\right)}\\ e,=\dfrac{5x\left(x+2\right)\left(2-x\right)}{4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{-5x}{4}\\ f,=\dfrac{3\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{2\left(x+5\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{-3\left(x+6\right)}{2\left(x+5\right)}\\ g,=\dfrac{3xy\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)}{2x^2y^2\left(x-3y\right)}=\dfrac{3\left(x+3y\right)}{2xy}\\ h,=\dfrac{45x^2y\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{10xy\left(y-x\right)}=\dfrac{-9x\left(x+y\right)}{2}\\ i,=\dfrac{12\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}=\dfrac{4\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}\)

e: \(=\dfrac{5\left(x+2\right)}{4\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{-2\left(x-2\right)}{x+2}=\dfrac{-10}{4}=-\dfrac{5}{2}\)

a.

Ta có: MN//BC (gt)

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1,2}{3}=\dfrac{AN}{4}\)

\(\Leftrightarrow3AN=4,8\)

\(\Leftrightarrow AN=1,6cm\)

b.Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông ABC, có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5cm\)

Áp dụng t/c đường phân giác góc A, ta có:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD}{3}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD+BD}{4+3}=\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow CD=\dfrac{5}{7}.4=\dfrac{20}{7}cm\)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{5}{7}.3=\dfrac{15}{7}cm\)

a: \(A=\dfrac{x+5}{2x}+\dfrac{x-6}{x-5}-\dfrac{2x^2-2x+50}{2x\left(x-5\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-25+2x^2-12x-2x^2+2x-50}{2xx\left(x-5\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-10x-75}{2x\left(x-5\right)}\)

b: Ta có: |x-2|=3

nên x-2=3 hoặc x-2=-3

=>x=5(loại) hoặc x=-1(nhận)

Thay x=-1 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{\left(-1\right)^2-10\cdot\left(-1\right)-75}{2\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1-5\right)}=\dfrac{1+20-75}{-2\cdot\left(-6\right)}=\dfrac{-54}{12}=\dfrac{-9}{2}\)

a: \(AC=\sqrt{15^2-9^2}=12\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{9\cdot12}{15}=\dfrac{108}{15}=7.2\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên AD/AB=CD/BC

=>AD/9=CD/15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{9}=\dfrac{CD}{15}=\dfrac{AD+CD}{9+15}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: AD=4,5(cm); CD=7,5(cm)

b: Xét ΔABC có DE//AB

nên DE/AB=CD/CA

=>DE/9=7,5/12

=>DE/9=5/8

hay DE=45/8(cm)