Câu 1 : a . \(lim\dfrac{9n^2-3n-1}{7n^3+3n^2}=lim\dfrac{\dfrac{9}{n}-\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}}{7+\dfrac{3}{n}}=0\)

b. \(lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{4-x^2}=lim_{x\rightarrow2}\dfrac{4x+1-9}{\left(\sqrt{4x+1}+3\right)\left(4-x^2\right)}\) 

\(=lim_{x\rightarrow2}\dfrac{4\left(x-2\right)}{\left(\sqrt{4x+1}+3\right)\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\)

\(=lim_{x\rightarrow2}\dfrac{-4}{\left(\sqrt{4x+1}+3\right)\left(2+x\right)}=\dfrac{-4}{\left(3+3\right)\left(2+2\right)}=-\dfrac{1}{6}\)

Câu 2 : Ta có : f(x) = \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x\left(x< 2\right)\\mx-1\left(x\ge2\right)\end{matrix}\right.\)

TXĐ : D = R   .  Với x < 2 ; hàm số liên tục

Với x > 2 ; hàm số liên tục 

Với x = 2  , ta có :  \(lim_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow2^-}2x^2+x=2.2^2+2=10\)

\(lim_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow2^+}mx-1=2m-1\) 

Hàm số liên tục trên R <=> Hàm số liên tục tại x = 2 

\(\Leftrightarrow lim_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow10=2m-1\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{11}{2}\)

Vậy ...

Ớ :D? Này hình như là đề thi chọn HSG Quốc gia môn Toán đúng ko nhờ :D? Thằng bạn kêu tui làm thử mà nhìn đề xong tui shock nặng luôn :b Lót dép hóng ai đó làm :3

Ò đúng rồi, đề thi HSG đó, con bạn mình nó kêu đi hỏi hộ nó để nó so keys, cơ mà thôi chắc không cần nữa rồi :v

8a.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(3x^2-5x+1\right)=3-5+1=-1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(-3x+2\right)=-3+2=-1\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\Rightarrow\) hàm có giới hạn tại \(x=1\)

Đồng thời \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=-1\)

b.

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^3-8}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}{x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(x^2+2x+4\right)=12\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(2x+1\right)=5\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)\Rightarrow\) hàm ko có giới hạn tại x=2

9.

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2+mx+2m+1}{x+1}=\dfrac{0+0+2m+1}{0+1}=2m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2x+3m-1}{\sqrt{1-x}+2}=\dfrac{0+3m-1}{1+2}=\dfrac{3m-1}{3}\)

Hàm có giới hạn khi \(x\rightarrow0\) khi:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\Rightarrow2m+1=\dfrac{3m-1}{3}\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{4}{3}\)

a.

\(SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SH=d\left(S;\left(ABC\right)\right)\)

\(SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp BC\Rightarrow\Delta SBH\) vuông tại H

\(BH=\dfrac{1}{2}BC=a\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=a\sqrt{3}\)

\(SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow HA\) là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SAH}\) là góc giữa SA và (ABC)

\(AH=\dfrac{1}{2}BC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\(\Rightarrow tan\widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\)

b.

H là trung điểm BC, M là trung điểm AB \(\Rightarrow MH\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MH||AC\Rightarrow MH\perp AB\) (do \(AB\perp AC\))

Lại có \(SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp AB\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SMH\right)\)

Mà \(AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SMH}\) là góc giữa (SAB) và (ABC)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=a\sqrt{3}\) \(\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow tan\widehat{SMH}=\dfrac{SH}{MH}=2\Rightarrow\widehat{SMH}\approx63^023'\)

c.

Theo cmt: \(\left\{{}\begin{matrix}MH\perp SH\\MH\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MH\) là đường vuông góc chung của SH và AB

\(\Rightarrow d\left(SH;AB\right)=MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Từ H kẻ HK vuông góc SM (K thuộc SM)

\(AB\perp\left(SMH\right)\Rightarrow AB\perp HK\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH:

\(HK=\dfrac{SH.MH}{\sqrt{SH^2+MH^2}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\)

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật \(\Rightarrow CD\perp\left(ADD'A'\right)\Rightarrow CD\perp AD'\)

Lại có ADD'A' là hình vuông \(\Rightarrow AD'\perp A'D\)

\(\Rightarrow AD'\perp\left(A'B'CD\right)\)

Mà \(AD'\in\left(ABC'D'\right)\Rightarrow\left(ABC'D'\right)\perp\left(A'B'CD\right)\)

b.

\(AA'\perp\left(ABCD\right)\) (t/c lập phương) \(\Rightarrow AA'\perp BD\)

Lại có \(BD\perp AC\) (ABCD là hình vuông)

\(\Rightarrow BD\perp\left(ACC'A'\right)\)

Mà \(BD\in\left(A'BD\right)\Rightarrow\left(ACC'A'\right)\perp\left(A'BD\right)\)