1.2 với \(x\ge0,x\in Z\)

A=\(\dfrac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=2+\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\in Z< =>\sqrt{x}+2\inƯ\left(3\right)=\left(\pm1;\pm3\right)\)

*\(\sqrt{x}+2=1=>\sqrt{x}=-1\)(vô lí)

*\(\sqrt{x}+2=-1=>\sqrt{x}=-3\)(vô lí
*\(\sqrt{x}+2=3=>x=1\)(TM)

*\(\sqrt{x}+2=-3=\sqrt{x}=-5\)(vô lí)

vậy x=1 thì A\(\in Z\)

Bài 1.2

\(A=\dfrac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=2+\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\)

C1:Bạn dùng pp chặn như bài 2.2

C2: (Gợi ý)\(\sqrt{x}+2\ge2\) và \(\sqrt{x}+2\inƯ\left(3\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+2=3\Leftrightarrow x=1\)

Vậy x=1 thì A nguyên

Bài 2.2

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\)

Do \(\sqrt{x}\ge0;\forall x\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\le\dfrac{5}{2}\)\(\Rightarrow A\le\dfrac{7}{2}\) (1)

mà \(\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}>0;\forall x\Rightarrow A>1\) (2)

Từ (1) (2) \(\Rightarrow1< A\le\dfrac{7}{2}\) mà A nguyên

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A=2\\A=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}=2\\1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+2=5\\\sqrt{x}+2=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Bài 3.2

\(A=\dfrac{-x-2\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}\)\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-5}{\sqrt{x}+2}=-\sqrt{x}-\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\)

\(=2-\left(\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\right)\)

Áp dụng bđt cosi: \(\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right).\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow A\le2-2\sqrt{5}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\Leftrightarrow x=9-4\sqrt{5}\)

3.2:

Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+x_2\right)^2=\left(2m+2\right)^2=4m^2+8m+4\\4x_1x_2=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m+4=2\left(2m+2\right)=2\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)=4m^2+8m+4-4m^2-4m-4m-4=0\)

Vậy hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) mà không phụ thuộc vào tham số m là \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\)

2: x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+m

(x1+x2)^2-4x1x2

=4m^2+8m+4-4m^2-4m=4m+4

=>(x1+x2)^2-4x1x2-2(x1+x2)=4m+4-4m-4=0 ko phụ thuộc m

3.2

\(\Delta'=\left(a+1\right)^2-2a=a^2+1>0;\forall a\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi a

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(a+1\right)\\x_1x_2=2a\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2-2\left(a+1\right)x_1+2a=0\Rightarrow x_1^2=2\left(a+1\right)x_1-2a\)

Thay vào bài toán:

\(2\left(a+1\right)x_1-2a+x_1-x_2=3-2a\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3\right)x_1-x_2=3\)

\(\Rightarrow x_2=\left(2a+3\right)x_1-3\)

Thế vào \(x_1+x_2=2\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow x_1+\left(2a+3\right)x_1-3=2\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(2a+4\right)x_1=2a+5\Rightarrow x_1=\dfrac{2a+5}{2a+4}\Rightarrow x_2=2a+2-\dfrac{2a+5}{2a+4}=\dfrac{4a^2+10a+3}{2a+4}\) (\(a\ne-2\))

Thế vào \(x_1x_2=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(2a+5\right)\left(4a^2+10a+3\right)}{\left(2a+4\right)^2}=2a\)

\(\Rightarrow8a^2+24a+15=0\Rightarrow a=...\)

a: \(Q=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-5\sqrt{x}-2}{x-4}:\dfrac{\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}+2-2x+4\sqrt{x}-5\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{-x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\left(-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\)

b: Khi x=4-2căn 3 thì \(Q=\dfrac{\sqrt{3}-1+2}{\sqrt{3}-1-3}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-4}=\dfrac{-7-5\sqrt{3}}{13}\)

c: Q>1/6

=>Q-1/6>0

=>\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{1}{6}>0\)

=>\(\dfrac{6\sqrt{x}+12-\sqrt{x}+3}{6\left(\sqrt{x}-3\right)}>0\)

=>\(\dfrac{5\sqrt{x}+9}{6\left(\sqrt{x}-3\right)}>0\)

=>căn x-3>0

=>x>9

1: Xét ΔABE vuông tại B và ΔADC vuông tại D có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ACD}\)

Do đó: ΔABE∼ΔADC

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\)

hay \(AB\cdot AC=AE\cdot AD\)

Giải giúp em câu 2 với câu 3 đc ko ạ

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{4}{3}\\x_1x_2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{x_1-1}{x_2+1}+\dfrac{x_2-1}{x_1+1}=\dfrac{\left(x_1-1\right)\left(x_1+1\right)+\left(x_2-1\right)\left(x_2+1\right)}{\left(x_2+1\right)\left(x_1+1\right)}\)

\(=\dfrac{x_1^2+x_2^2-2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\)

\(=\dfrac{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2-2.\left(-\dfrac{1}{3}\right)-2}{-\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}+1}=...\)

Câu 2:

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^2}{4}\) là một Parabol đi qua các điểm A ( -2 ; 1 ) B ( -1 ; \(\dfrac{1}{4}\) ) O ( 0 ; 0 ) B' ( 1 ; \(\dfrac{1}{4}\) ) A' ( 2 ; \(\dfrac{1}{4}\) )

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x+2\)

Cho x = 1 ⇒ y = \(\dfrac{5}{2}\) ta có:   M ( 0 ; \(\dfrac{5}{2}\) )

Cho y = 1 ⇒ x = -2 ta có:  N ( -2 ; 0 ) 

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x+2\) là một đường thẳng đi qua các điểm M ( 0 ; \(\dfrac{5}{2}\) ) và N ( - 2 ; 0 ) 

Vẽ đồ thị tự vẽ nha

b) Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và ( D ) ta có:

\(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{2}x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-8=0\)

Ta có: △ = b² - 4ac = ( -2 )² - 4 . 1 . ( - 8 ) = 36

Vì △ = 36 > 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{36}}{2.2}=4\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{36}}{2.1}=-2\)

Với x = 4 ⇒ y = 4 ta có ( x ; y ) = ( 4 ; 4 )

Với x = - 2 ⇒ y = 1 ta có ( x ; y ) = ( -2 ; 1 )

Vậy tại ( 4 ; 4 ) và ( -2 ; 1 ) thì  ( P ) và ( D ) giao nhau