\(M=4\left(x^2+2x-8\right)\left(x^2+7x-8\right)+25x^2\)

Đặt y = x² + 4,5x - 8, ta có:

\(M=4\left(y-2,5x\right)\left(y+2,5x\right)+25x^2\)

\(=4y^2-25x^2+25x^2=4y^2\ge0\forall x\in R\)

Tóm lại, M không có giá trị âm (đpcm)

M=4(x - 2)(x - 1)(x + 4)(x + 8) + 25x²

M=4 ( x - 2 )( x  +  4 ).( x  -  1 )( x  +  8 )+ ( 5x )²

M=4 ( x² + 2x - 8 )( x² + 7x - 8 ) + ( 5x )² (1)

Đặt t = x² + 7 x - 8, khi đó (1) trở thành:

M=4( t - 5x ).t + ( 5x )²

M=4t²  - 20tx + ( 5x )²

M=( 2t - 5x )²

Thay t = x² + 7x - 8 ta được: M= (2x² +  9x - 16)²  >= 0

Vậy M luôn không có giá trị âm.

\(M=4\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+8\right)+25x^2=4\left[\left(x-1\right)\left(x+8\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x+4\right)\right]+25x3\)

\(M=4\left(x^2+7x-8\right)\left(x^2+2x-8\right)+\left(5x\right)^2\)

Đặt \(a=x^2+7x-8\Rightarrow x^2+2x-8=a-5x\)

\(\Rightarrow M=4a\left(a-5\right)+\left(5x\right)^2=\left(4a\right)^2-20a+\left(5x\right)^2=\left(4a-5x\right)^2\)

Thế \(a=x^2+7x-8\) vào , ta được :

\(M=\left(2a^2+9x-16\right)^2\)

Bạn Võ Thạch Đức Tín giải đúng nhưng sai một vài chỗ rồi, mình sửa lại nha.

Dòng thứ hai từ trên xuống : 25x3 sửa thành 25x²

Dòng thứ năm từ trên xuống : 4a ( a - 5 ) thành 4a.( a - 5x ), ( 4a )² thành ( 2a ) ² và - 20x thành -20ax 

=> M =  4a.( a - 5 ) + ( 5x ) ² = ( 2a ) ² - 20x + ( 5x )² = ( 2a - 5x )² 

Vì chỗ này sai nên kết quả phải sửa lại thành :

M =  ( 2x² + 14x  - 16 - 5x )²

    = ( 2x² + 9x - 16 )²

Tìm ra được đến đây rồi nhưng bạn chưa chứng minh được M không âm

Bổ sung

Vì ( 2x² + 9x - 16 )² > 0 với mọi x

=> M > 0

Vậy M luôn không âm

Câu 1:

\(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)+25x=x\left(x+5\right)\left(x-5\right)+8\)

\(\Leftrightarrow x^3-8+25x=x\left(x^2-25\right)+8\)

\(\Leftrightarrow x^3-8+25x=x^3-25x+8\)

\(\Leftrightarrow x^3-8+25x-x^3+25x-8=0\)

\(\Leftrightarrow50x-16=0\)

\(\Leftrightarrow50x=16\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{25}\)

Câu 2 :

\(\dfrac{x+5}{4}+\dfrac{3+2x}{3}=\dfrac{6x-1}{3}-\dfrac{1-2x}{12}\)

<=> \(\dfrac{3\left(x+5\right)}{12}+\dfrac{4\left(3+2x\right)}{12}=\dfrac{4\left(6x-1\right)}{12}-\dfrac{1-2x}{12}\)

<=>\(\dfrac{3x+15+12+8x}{12}=\dfrac{24x-4-1+2x}{12}\)

<=> 3x + 15 + 12 + 8x = 24x - 4 - 1 +2x

<=> 11x+27 = 26x -5

<=> ( 26x - 5 ) - ( 11x + 27 ) = 0

<=> 15x - 32 = 0

<=> 15x = 32

<=> x = \(\dfrac{32}{15}\)

M=4(x - 2)(x - 1)(x + 4)(x + 8) + 25x²

M=4(x - 2)(x + 4).(x - 1)(x + 8)+(5x)²

M=4(x²+2x-8)(x²+7x-8)+(5x)^{2   (1)}

Đặt t=x²+7x-8, khi đó (1) trở thành:

M=4(t-5x).t + (5x)²

M=4t²-20tx + (5x)²

M=(2t-5x)²

Thay t=x²+7x-8 ta được:

M=(2x²+9x-16)² >= 0

Vậy M luôn không có giá trị âm.