3.

Do \(sin\left(x+k2\pi\right)=sinx\Rightarrow sin\left(x+2020\pi\right)=sinx\)

\(sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}-x\right)=cos\left(-x\right)=cosx\)

\(A=\dfrac{sinx+sin3x+sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}=\dfrac{sinx+sin5x+sin3x}{cosx+cos5x+cos3x}\)

\(=\dfrac{2sin3x.cosx+sin3x}{2cos3x.cosx+cos3x}=\dfrac{sin3x\left(2cosx+1\right)}{cos3x\left(2cosx+1\right)}\)

\(=\dfrac{sin3x}{cos3x}=tan3x\)

4.

a.

\(\overrightarrow{CB}=\left(2;-2\right)=2\left(1;-1\right)\)

Do đường thẳng d vuông góc BC nên nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left(-1;2\right)\) và có 1 vtpt là \(\left(1;-1\right)\) là:

\(1\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y+3=0\)

b.

Gọi \(I\left(a;b\right)\) là tâm đường tròn, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\left(a+1;b-2\right)\\\overrightarrow{BI}=\left(a-3;b-2\right)\\\overrightarrow{CI}=\left(a-1;b-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=\left(a+1\right)^2+\left(b-2\right)^2\\BI^2=\left(a-3\right)^2+\left(b-2\right)^2\\CI^2=\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2\end{matrix}\right.\)

Do I là tâm đường tròn qua 3 điểm nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=BI\\AI=CI\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=BI^2\\AI^2=CI^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2+\left(b-2\right)^2=\left(a-3\right)^2+\left(b-2\right)^2\\\left(a+1\right)^2+\left(b-2\right)^2=\left(a-1\right)^2+\left(b-4\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a=8\\4a+4b=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;2\right)\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(2;0\right)\Rightarrow R=AI=\sqrt{2^2+0^2}=2\)

Pt đường tròn có dạng:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\) 

2.

Xét BPT: \(\left(x+3\right)\left(4-x\right)>0\Leftrightarrow-3< x< 4\) \(\Rightarrow D_1=\left(-3;4\right)\)

Xét BPT: \(x< m-1\) \(\Rightarrow D_2=\left(m-1;+\infty\right)\)

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(D_1\cap D_2\ne\varnothing\)

\(\Leftrightarrow m-1< 4\)

\(\Leftrightarrow m< 5\)

3.

\(\dfrac{\pi}{24}=\dfrac{180^0}{24}=7^030'\)

4.

\(x^2+y^2-x+y+4=0\) không phải đường tròn

Do \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-4< 0\)

5.

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) có \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=b^2-4ac< 0\end{matrix}\right.\) thì \(f\left(x\right)\) không đổi dấu trên R

6.

\(sin2020a=sin\left(2.1010a\right)=2sin1010a.cos1010a\)

7.

Công thức B sai

\(cos^2a+sin^2a=1\) , không phải \(cos2a\)

Xét ΔMNP có MJ là đường trung tuyến và G là trọng tâm

nên M,G,J thẳng hàng và \(MG=\dfrac{2}{3}MJ\)

Xét ΔMNP có MJ là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}\right)\)

=>\(\overrightarrow{MG}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MP}\)

=>Chọn C

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{5}\)

(C) tâm A đi qua B nên có bán kính \(R=AB=\sqrt{5}\)

Phương trình:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)

Câu 17: Ý A

\(\Delta:2x+3y-2=0\)

Kẻ đt d vuông góc với \(\Delta\) và đi qua M => Đường thẳng d có dạng: \(d:-3x+2y+c=0\)

\(M\in\left(d\right)\Rightarrow-3.3+2.3+c=0\Leftrightarrow c=3\)

\(\Rightarrow d:-3x+2y+3=0\)

Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đt \(\Delta\) là nghiệm của hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y-2=0\\-3x+2y+3=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

Câu 18: B

Hàm có TXĐ là R khi \(x^2-2mx-2m+3\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\left(lđ\right)\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow4m^2-4\left(-2m+3\right)\le0\)\(\Leftrightarrow-3\le m\le1\)

Có 5 giá trị nguyên của m

Câu 19: A

Bpt vô nghiệm khi \(x^2-mx+1>0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Câu 20: D

\(D\in\Delta\Rightarrow D\left(t;-3t-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\left(t+1;-3t-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}\left(2;-1\right)\)

Vì ABCD là hình thang có một đáy là AD

\(\Rightarrow\)\(AD//BC\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(-1\right)=2\left(-3t-2\right)\)\(\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{5}\)\(\Rightarrow D\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{-1}{5}\right)\)

- Với \(m=1\) BPT trở thành \(2>0\) (thỏa mãn) (1)

- Với \(m\ne1\) tập nghiệm của BPT là R khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\left(m-1\right)\left(m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\1< m< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1< m< 3\) (2)

Kết hợp (1) và (2): với \(1\le m< 3\) thì BPT có tập nghiệm R

a)PQ \(\left\{{}\begin{matrix}quaP\left(1;-4\right)\\vtcp\overrightarrow{PQ}\left(1;7\right)\Rightarrow vtpt\overrightarrow{n}\left(7;-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow PQ:7x-y-11=0\)

b) Gọi pt đt tâm (O) có dạng (C):\(x^2+y^2=R^2\)

Do (C) tiếp xúc với đt \(2x+y-3=0\)

\(\Rightarrow R=d_{\left(O;\Delta\right)}=\dfrac{\left|2.0+0-3\right|}{\sqrt{2^2+1}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\left(C\right):x^2+y^2=\dfrac{9}{5}\)

c)\(I\in\left(\Delta\right)\Rightarrow I\left(t;3-2t\right)\)

\(IQ=R\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-t\right)^2+4t^2}=3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{2+\sqrt{29}}{5}\\t=\dfrac{2-\sqrt{29}}{5}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow I\left(\dfrac{2+\sqrt{29}}{5};\dfrac{11-2\sqrt{29}}{5}\right);I\left(\dfrac{2-\sqrt{29}}{5};\dfrac{11+2\sqrt{29}}{5}\right)\)

Vậy pt đường tròn tâm I cần tìm là: \(\left(C\right)':\left(x-\dfrac{2+\sqrt{29}}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{11-2\sqrt{29}}{5}\right)^2=9\) hoặc \(\left(C\right)':\left(x-\dfrac{2-\sqrt{29}}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{11+2\sqrt{29}}{5}\right)^2=9\)

a.

\(\overrightarrow{PQ}=\left(1;7\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận \(\left(7;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình PQ:

\(7\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow7x-y-11=0\)

b.

Do đường tròn tiếp xúc denta nên \(R=d\left(O;\Delta\right)\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{\left|2.0-0-3\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)

Phương trình đường tròn: \(x^2+y^2=\dfrac{9}{5}\)

c.

Do I thuộc denta nên tọa độ có dạng: \(I\left(a;3-2a\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IQ}=\left(2-a;2a\right)\) \(\Rightarrow IQ^2=\left(2-a\right)^2+4a^2\)

Do đường tròn qua Q nên \(IQ=R\Rightarrow IQ^2=R^2\)

\(\Rightarrow\left(2-a\right)^2+4a^2=9\)

\(\Rightarrow5a^2-4a-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{2+\sqrt{29}}{5}\\a=\dfrac{2-\sqrt{29}}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(\dfrac{2+\sqrt{29}}{5};\dfrac{11-2\sqrt{29}}{5}\right)\\I\left(\dfrac{2-\sqrt{29}}{5};\dfrac{11+2\sqrt{29}}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn:

\(\left(x-\dfrac{2+\sqrt{29}}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{11-2\sqrt{29}}{5}\right)^2=9\)

\(\left(x-\dfrac{2-\sqrt{29}}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{11+2\sqrt{29}}{5}\right)^2=9\)