b: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(NH\cdot NP=MN^2\left(1\right)\)

Xét ΔMNK vuông tại M có MQ là đường cao

nên \(NQ\cdot NK=MN^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(NH\cdot NP=NQ\cdot NK\)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB tại M

=>AM\(\perp\)SB tại M

Xét tứ giác SPAM có \(\widehat{SPA}+\widehat{SMA}=180^0\)

nên SPAM là tứ giác nội tiếp

=>S,P,A,M cùng thuộc một đường tròn

b: Cái này mình xin nói luôn về góc nội tiếp nha bạn: Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc vào đường tròn, có hai cạnh là hai dây của đường tròn. 

Tính chất thì sẽ là Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn

Bây giờ mình xin phép làm như sau nha:

M đối xứng M' qua AB

=>AB là đường trung trực của MM'

=>AB\(\perp\)MM' tại trung điểm của MM' và AM=AM'

AM=AM'

=>ΔAMM' cân tại A

AB\(\perp\)MM'

SS'\(\perp\)BA

Do đó: MM'//SS'

Xét ΔAMM' và ΔAS'S có

\(\widehat{AMM'}=\widehat{AS'S}\)(hai góc so le trong, MM'//SS')

\(\widehat{MAM'}=\widehat{S'AS}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAMM'\(\sim\)ΔAS'S

=>\(\dfrac{AM}{AS'}=\dfrac{AM'}{AS}\)

mà AM=AM'

nên AS'=AS

=>ΔAS'S cân tại A

=>\(\widehat{ASS'}=\widehat{AS'S}\)

mà \(\widehat{ASS'}=\widehat{AMP}\)(APSM là tứ giác nội tiếp)

nên \(\widehat{PS'M}=\widehat{PMS'}\)

=>ΔPS'M cân tại P

Bài 1: 

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=3.6\left(cm\right)\\CH=6.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AF\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

a: ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{3}{2}\)

c: ĐKXĐ: \(x< -\dfrac{5}{3}\)

d: ĐKXĐ: \(x\in R\)

e: ĐKXĐ: \(x< -\dfrac{1}{2}\)

f: ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

g: ĐKXĐ: \(x\in R\)

h: ĐKXĐ: \(x>-\dfrac{1}{2}\)

b: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{2}{5}\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\left(x\ge0\right)\)

để P>\(\dfrac{1}{4}< =>\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}>\dfrac{1}{4} < =>\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{4}>0\)

<=>\(\dfrac{4.2\sqrt{x}}{4\left(\sqrt{x}+3\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{4\left(\sqrt{x}+3\right)}>0\)

<=>\(\dfrac{8\sqrt{x}-\sqrt{x}-3}{4\left(\sqrt{x}+3\right)}>0< =>\dfrac{7\sqrt{x}-3}{4\left(\sqrt{x}+3\right)}>0\)

ta có \(\sqrt{x}\ge0\left(\forall x\right)=>\sqrt{x}+3\ge3=>4\left(\sqrt{x}+3\right)>12\)

hay \(4\left(\sqrt{x}+3\right)>0\)

vậy để \(\dfrac{7\sqrt{x}-3}{4\left(\sqrt{x}+3\right)}>0< =>7\sqrt{x}-3>0< =>7\sqrt{x}>3< =>\sqrt{x}>\dfrac{3}{7}\)

<=>\(x>\dfrac{9}{49}\)

vậy x>9/49 thì pP>1/4

a) ĐKXĐ: \(2x-3\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{3}{2}\)

b) ĐKXĐ: \(-\dfrac{2}{x}+5\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{2}{5}\)

c)ĐKXĐ: \(-3x-5>0\Rightarrow x>-\dfrac{5}{3}\)

d) ĐKXĐ: \(4x^2-4x+1\ge0\Rightarrow\left(2x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

e, f,g,h,i thì sao ạ

Bài 1: 

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=3.6\left(cm\right)\\CH=6.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AF\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

9:

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-2m+4\right)\)

=4m^2-4m^2+8m-16=8m-16

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 8m-16>0

=>m>2

x1^2+x2^2=x1+x2+8

=>(x1+x2)^2-2x1x2-(x1+x2)=8

=>(2m)^2-2(m^2-2m+4)-2m=8

=>4m^2-2m^2+4m-8-2m=8

=>2m^2+2m-16=0

=>m^2+m-8=0

mà m>2

nên \(m=\dfrac{-1+\sqrt{33}}{2}\)