\(x^2-5mx-4m=0\)

Xét \(\Delta=25m^2+16m>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\frac{16}{25}\\x>0\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=-4m\end{matrix}\right.\)

Vì x₁ và x₂ là nghiệm pt nên

\(x_1^2-5mx_1-4m=0\Leftrightarrow x_1^2=5mx_1+4m\)

\(x_2^2-5mx_2-4m=0\Leftrightarrow x_2^2=5mx_2+4m\)

\(A=\frac{m^2}{5mx_1+16m+5mx_2}+\frac{5mx_2+16m+5mx_1}{m^2}\)

\(=\frac{m^2}{5m.5m+16m}+\frac{5m.5m+16m}{m^2}\)

\(=\frac{m}{25m+16}+\frac{25m+16}{m}\)

Tự giải tiếp

bài này có GTLN thôi bạn 

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+4m+3\right)=-2m-2\)

Để pt luôn có 2 nghiệm 

\(-2m-2\ge0\Leftrightarrow m+1\le0\Leftrightarrow m\le-1\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\right|\)

\(=\left|m^2+4m+3+4\left(m+1\right)\right|=\left|m^2+8m+7\right|\)

\(=\left|m^2+8m+16-9\right|=\left|\left(m+4\right)^2-9\right|\)

Ta có : \(m\le-1\Rightarrow m+4\le3\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2\le9\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-9\le0\Rightarrow\left|\left(m+4\right)^2-9\right|\le\left|0\right|=0\)

Vậy với m = -1 thì A đạt GTNN là 0 

sửa kết luận thì A đạt GTLN là 0 nhé 

Để phương trình có nghiệm khi \(\Delta>0\)

\(\Delta=\left(2m+4\right)^2-4\left(m^2+4m+3\right)=4m^2+16m+16-4m^2-16m-12\)

\(=4>0\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm pb 

Theo Vi et : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m+4\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6=2m^2+8m+10\)

\(=2\left(m^2+4m+5\right)=2\left(m+2\right)^2+2\ge2\)

Dấu ''='' xảy ra khi m = -2 

\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2+4m+3\right)=1>0\) 

\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+2\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=2m^2+8m+10=2\left(m^2+4m+4\right)+2=2\left(m+2\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow\) GTNN của \(x_1^2+x_2^2=2\) khi \(m=-2\)

\(\frac{1}{2x-x^2+1}=\frac{1}{2-\left(x^2-2x+1\right)}=\frac{1}{2-\left(x-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1