Theo t/c đường tròn, do M là trung điểm BC \(\Rightarrow OM\perp BC\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=3\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là đường tròn tâm \(\left(O;3\right)\)

Mặt khác do G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\) G là ảnh của M qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là ảnh của \(\left(O;3\right)\) qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là đường tròn bán kính \(\dfrac{2}{3}.3=2\)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(AC=BC\)

Mặt khác \(OA=OB=R\)

\(\Rightarrow OC\) là trung trực AB hay \(OC\perp AB\)

\(\Rightarrow\Delta AOK\) vuông tại K

\(\Rightarrow\) Tập hợp K là đường tròn (C) đường kính AO cố định 

b.

Do H là trực tâm \(\Rightarrow BH\perp AD\Rightarrow BH||AO\) (cùng vuông góc AD)

\(\Rightarrow\widehat{OAK}=\widehat{KBH}\) (so le trong)

Mà \(AK=BK\) (OC là trung trực AB)

\(\Rightarrow\Delta_VOAK=\Delta_VKBH\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OK=KH\) hay K là trung điểm OH

\(\Rightarrow\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OK}\Rightarrow H\) là ảnh của K qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=2\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp H là đường tròn ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=2\) (với (C) là đường tròn đã xác định ở câu a)

Đường tròn có pt:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\)

Tâm \(I\left(1;1\right)\) và \(R=2\sqrt{2}\)

Gọi \(I_1\) là ảnh của I qua phép quay 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{I1}=1.cos\left(-45^0\right)-1sin\left(-45^0\right)=\sqrt{2}\\y_{I_1}=1.sin\left(-45^0\right)+1.cos\left(-45^0\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1\left(\sqrt{2};0\right)\)

Gọi \(I_2\) là ảnh của \(I_1\) qua phép vị tự:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{I_2}=-\sqrt{2}.\sqrt{2}=-2\\y_{I_2}=-\sqrt{2}.0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I_2\left(-2;0\right)\)

\(R_2=\left|-\sqrt{2}\right|.2\sqrt{2}=4\)

Vậy pt đường tròn ảnh có dạng:

\(\left(x+2\right)^2+y^2=16\)

a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O.

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): x 2   +   y 2   −   2 x   +   6 y   +   6   =   0 .

b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0.

Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9).

Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5).

Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3),

bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1).

Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là x   −   3 2   +   y   −   1 2   =   4 .