\(\sqrt{1+2+3+..+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\)

\(=\sqrt{2\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]-n}\)

\(=\sqrt{2.\left(n+1\right).n:2-n}\)

\(=\sqrt{n\left(n+1\right)-n}\)

\(=\sqrt{n^2+n-n}\)

\(=\sqrt{n^2}\)

\(=n\)

\(n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^2-4+5\right)\left(n^2-1+5\right)\)

\(=n\left[\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\right]\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\right]\)

\(=\left[n\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\right]\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\right]\)

\(=\)\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)\(+5n^2\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) là tích 5 số nguyên liên tiếp

=> ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 5

=> ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) + 5n^2( n - 2 )( n - 1 )( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 5

\(\Rightarrow n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)⋮5\)

Gọi d là UCLN(n;n+1)
Suy ra: n chia hết cho d; n+1 chia hết cho d (1)
=> (n+1)-n chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d  (2)
Từ (1) và (2) => d=+1
Vậy n/n+1 là phân số tối giản

mơn bn nhìu nha

3^n+1 - 2^n+1 nha

gấp quá nên mik nhắn nhầm

Ta có :

B = 3ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺² + 3^n-1 - 2ⁿ⁺¹ ( n ∈ N* )

=> B = ( 3ⁿ⁺³ + 3^n-1 ) + ( 2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹ )

=> B = 3^n-1 . ( 3⁴ - 1 ) + 2ⁿ⁺¹ . ( 2² + 1 )

=> B = 3^n-1 . ( 81 - 1 ) + 2ⁿ⁺¹ . ( 4 + 1 )

=> B = 3^n-1 . 80 + 2ⁿ . 2 . 5

=> B = 3^n-1 . 8 . 10 + 2ⁿ . 10

=> B = ( 3^n-1 . 8 + 2ⁿ ) . 10 ⋮ 10 ( do 3^n-1 . 8 + 2ⁿ ∈ N* với n ∈ N* )

Vậy với mọi số nguyên dương n thì B ⋮ 10

Vì n là số lẻ n=2k-1

Số số hạng là (2k-1-1):2+1=k-1+1=k(số)

Tổng là \(\dfrac{\left(2k-1+1\right)\cdot k}{2}=k^2\)

chịu