Đặt điều kiện : a, b, c, d khác 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)

\(=\frac{2a+b+c+d+a+2b+c+d+a+b+2c+d+a+b+c+2d}{a+b+c+d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

Nếu \(a+b+c+d=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(d+a\right)\\c+d=-\left(a+b\right)\end{cases}\Rightarrow d+a=-\left(b+c\right)\Rightarrow M=-4}\)

Và nếu a + b + c + d khác 0 \(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}=5\Rightarrow b+c+d=3a\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3d\\a+c+d=3b\\a+b+d=3c\end{cases}\Rightarrow a=b=c=d}\)

Khi đó \(M=4\)

Vậy \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M=4\\M=-4\end{cases}}\)

bạn ơi hỏi cái, M ở đâu ra vậy.

Xem lại đề biểu thức M đi bạn, hình như dấu + chứ không phải dấu = nha

mình nghĩ đề bài sai

minhf giải ra rùi

Trừ 1 ở mỗi phân số ta đuợc :

\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu : a+b+c+d\(\ne\)0 

=> a=b=c=d

=> \(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=1+1+1+1=4\)

Nếu a+b+c+d=0 

=> +) a+b=-(c+a)

+) b+c=-(d+a)

+) c+d=-(a+b)

+) d+a=-(b+c)

=> M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4

Từ \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)

=> \(2+\frac{b+c+d}{a}=2+\frac{a+c+d}{b}=2+\frac{a+b+d}{c}=2+\frac{a+b+c}{d}\)

=> \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{\left(b+c+d\right)+\left(a+c+d\right)+\left(a+b+d\right)+\left(a+b+c\right)}{a+b+c+d}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

Từ \(3=\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{\left(a+b\right)+2\left(c+d\right)}{a+b}=1+2.\frac{c+d}{a+b}\)=> \(\frac{c+d}{a+b}=\frac{3-1}{2}=1\)

Từ \(3=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{2.\left(a+b\right)+\left(c+d\right)}{c+d}=1+2.\frac{a+b}{c+d}\) => \(\frac{a+b}{c+d}=1\)

Từ \(3=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{\left(a+b+c\right)+\left(b+c+d\right)}{d+a}=2.\frac{b+c}{d+a}+1\)=> \(\frac{b+c}{d+a}=1\)

Từ \(3=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{2\left(a+d\right)+\left(b+c\right)}{b+c}=2.\frac{d+a}{b+c}+1\)=> \(\frac{d+a}{b+c}=1\)

Vậy M = 1 + 1+ 1+ 1 = 4

áp dụng t/ c dãy tỉ số = nhau ta có: \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=5\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=5\Rightarrow5a=2a+b+c+d\Leftrightarrow3a=b+c+d\Rightarrow a=\frac{b+c+d}{3}\)

\(\frac{a+2b+c+d}{b}=5\Rightarrow3b=a+c+d\Leftrightarrow3b=\frac{b+c+d}{3}+c+d\Leftrightarrow9b=b+c+d+3c+3d\Leftrightarrow8b=4c+4d\Leftrightarrow b=\frac{c+d}{2}\)

\(\Rightarrow a=\frac{\left(\frac{c+d}{2}+c+d\right)}{3}=\frac{3c+3d}{6}=\frac{c+d}{2}\Rightarrow a+b=\frac{2\left(c+d\right)}{2}=c+d\Rightarrow\frac{2c+2d+c+d}{\frac{c+d}{2}}=5\Leftrightarrow\frac{6\left(c+d\right)}{c+d}=5\Rightarrow6=5\)=> k tìm đc a,b,c,d thỏa mãn.

hoặc làm tiếp ta cũng có thể thấy:

\(\frac{a+b+2c+d}{c}=5\Rightarrow3c=a+b+d\Leftrightarrow3c-\frac{c+d}{2}-\frac{c+d}{2}-d=0\Leftrightarrow3c-c-d+d=0\Leftrightarrow2c=0\Leftrightarrow c=0\)

mà a,b,c,d điều kiện phải khác 0 => k có a,b,c,d thỏa mãn

Ta có :   2a + b + c+ d / a - 1 = a + 2b + c + d / b - 1 = a + b + 2c + d / c - 1 = a + b + c +2d / d - 1

  => a + b + c + d / a =  a + b + c + d / b = a + b + c + d / c = a + b + c + d / d

Xét 2 trường hợp : 

TH1:   a + b + c + d = 0

=> a + b = - ( c + d )   ;   b + c = - ( a + d )   ;   c + d = - ( a + b )

Khi đó M = ( -1 ) . 4 = -4

TH2 :  a + b + c + d  khác 0 

=> a = b = c = d

Khi đó M = 1 . 4 = 4

Vậy M = 4 hoặc M = - 4

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{a}+1=\frac{a+b+c+d}{b}+1=\frac{a+b+c+d}{c}+1=\frac{a+b+c+d}{d}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

=> a =b=c=d

=>M =1+1+1+1  =4

Nguyễn Nhật Minh làm thiếu