3: góc AMN=góic ACM

=>AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECM

=>góc AMB=90 độ

=>Tâm o1 của đường tròn ngoại tiếp ΔECM nằm trên BM

NO1 min khi NO1=d(N;BM)

=>NO1 vuông góc BM

Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N xuống BM

=>O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM  có bán kính là O1M
=>d(N;tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM) nhỏ nhất khi C là giao của (O1;O1M) với (O) với O1 ;là hình chiếu vuông góc của N trên BM

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đt luôn đi qua với mọi m

\(\Leftrightarrow mx_0+3+3my_0-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0+3y_0\right)+\left(3-y_0\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+3y_0=0\\3-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-9\\y_0=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-9;3\right)\)

Vậy đồ thị luôn đi qua \(A\left(-9;3\right)\) với mọi m

a: Ta có: AD=DE=EC

mà AD+DE+EC=3a

nên \(AD=DE=EC=a\)

mà AB=a

nên AB=AD=DE=EC=a và DC=2a

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=BA^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=a^2+a^2=2a^2\)

hay \(BD=a\sqrt{2}\)

Ta có: \(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

mà \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

nên \(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)

b: Xét ΔBDE và ΔCDB có 

\(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)

\(\widehat{BDC}\) chung

Do đó: ΔBDE\(\sim\)ΔCDB

Điểm F ở đâu vậy bạn?

a: Ta có: \(M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

\(=\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

b: Ta có: \(x=\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{8}{\sqrt{5}+1}\)

\(=2\left(\sqrt{5}+1\right)-2\left(\sqrt{5}-1\right)\)

\(=2\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+2\)

=4

Thay x=4 vào M, ta được:

\(M=\dfrac{2}{4+2+1}=\dfrac{2}{7}\)

help me

giúp mình 1a

Câu 3:

a.

Biến đổi biểu thức A ta được:

     \(A=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5}{x}=\dfrac{x^2-5x+5}{x-x^2}\)

Ta có:

     \(A-\left(5+2\sqrt{5}\right)=\dfrac{\left[\left(12+4\sqrt{5}\right)x-10-2\sqrt{5}\right]^2}{24+8\sqrt{5}}\ge0\)

Do đó:

     \(A_{min}=5+2\sqrt{5}\) khi  \(x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}\)

b.

Từ giả ta có các nhận xét sau

    \(\sqrt{2022}=\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\ge\Sigma\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)

     \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{1011}\)

     \(\sqrt{2022}=\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\le\sqrt{3\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}\)

     \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge337\)

Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta có thể giả sử:

     \(a\le b\le c\)

     \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le b^2\le c^2\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{a+b}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt Chebyshev cho hai bộ số cùng chiều 

\(\left(a^2,b^2,c^2\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\right)\) :

\(VT\ge\dfrac{1}{3}.\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{\sqrt{1011}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{1011}}{3}\)

Đề sai rồi bạn. Vì sao lại có hai đường cao AM,CM vậy?