$9^{10}\equiv 01\left(mod100\right)$
$\Rightarrow 9^{2010}\equiv (9^{10}{)}^{201}\equiv 1(mod100)$
$\Rightarrow 9^{2010}=100k+1(k\in Z)$
$\Rightarrow A=2^{100k+1}=(2^{100}{)}^k.2\equiv {376}^k.2\equiv 376.2\equiv 752(mod1000)$ 

Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

nên \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

Lại có \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(1\right)\)

Xét \(n\left(n-1\right)\)là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\left(2\right)\)

Mà \(\left(2;5\right)=1\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow n^5-n⋮2.5\)

                             \(\Rightarrow n^5-n⋮10\)

\(\Leftrightarrow n\)và \(n^5\)có chữ số tận cùng giống nhau

Vậy ,...

Cho mình hỏi tại sao phải lấy n^5-n

tận cùng là 5 mũ 1 số lớn hơn 0 lúc nào chả có tận cùng là 5:v

link kết quả 2²⁰¹⁵ nè: http://goo.gl/b951WQ

2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² 

= (2⁴)².2² + (2⁴)².2³ + (2⁴)³

= (......6)².4 + (.......6)².8 + (........6)³

= (.......6).4 + (......6).8 + (.......6)

= (.......4) + (.........8) + (........6)

= (........8)

Vậy chữ số tận cùng là 8

7²⁰¹⁵ = (7⁴)⁵⁰³ . 7³ = 2401⁵⁰³ . 343 = .....01 . 343 = ...43