a: Do AC > A'C' nên lấy được điểm C₁ trên cạnh AC sao cho AC₁=A′C′.

Ta có  ΔABC₁=ΔA'B'C'

Suy ra B′C′=BC1

Mặt khác hai đường xiên BC và BC₁ kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC₁.

Vì AC > AC1 nên BC > BC1.

Suy ra BC > B'C'.

b: 

-Giả sử AC<A'C'.

Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC=A'C'. Khi đó ta có ΔABC=ΔA'B'C' (c.g.c).

Suy ra BC=B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC>B'C'. Vậy ta phải có AC>A'C'.

Dùng phản chứng:

- Giả sử AC < A'C'. Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC = A'C'. Khi đó ta có ΔABC = ΔA'B'C' (c.g.c). Suy ra BC = B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC > B'C'. Vậy ta phải có AC > A'C'.

(Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán sau)

Trong tam giác vuông ABC có BC 2= AB 2+ AC 2 (1)

Trong tam giác vuông A'B'C' có B'C' 2= A'B' 2+ A'C' 2 (2)

Theo giả thiết AB = A'B' nên từ (1) và (2) ta có:

- Nếu AC > A'C' thì AC 2 > A'C' 2, suy ra BC 2 > B'C' 2 hay BC > B'C'

- Nếu BC > B'C' thì BC 2 > B'C' 2, suy ra AC 2 > A'C' 2 hay AC > A'C'.

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AC=A'C(gt)

AB=A'B'(gt)

AM:cạnh chung                        <1>

A'M':cạnh chung                         <2>

Từ <1>và<2> có;AM=A'M'(vì đều là cạnh chung)

Vậy tam giác ABC =tam giác A'B'C'(c-c-c)

xét tam giác ABCvà A'B'C'có

AB=A'B'

ta có BAC+B'A'C'=180

nên BAC=B'A'C'=180/2=90

nên  tam giac1 ABC và tam giác A'B'C' là 2 tam giác vuông

mà AM là đường trung tuyến của tam giác ABC

nên AM=1/2BC

xét tam giac1 ABC và tam giác A'B'C' có

BAC=B'A'C'(gt)

AC=A'C'(gt)

AB=A'B'(gt)

nên  tam giac1 ABC = tam giác A'B'C'

nên BC=B'C'

mà AM=1/2 BC

nên AM=1/2 B'C'

đề chx cho BAC=B'A'C' nên chx có cách cm BAC=B'A'C' =90 độ