a: a^3-a=a(a^2-1)

=a(a-1)(a+1)

Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6

=>a^3-a chia hết cho 6

a) \(A=x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\inℝ\)

b) \(x-x^2-3=-\left(x^2-x+3\right)\)

\(=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}\right)\)

\(=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\right]\)

\(=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\right]-\frac{11}{4}\le\frac{-11}{4}< 0\forall x\inℝ\)

x²-2x+2=(x²-2x+1)+1=( x-1)²+1

Mà (x-1)²≥0 với mọi x

=> (x-1)²+1>0 với mọi x

=> x²-2x+2>0 với mọi x

Với mọi \(x\in R\) ta có :

\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2a}{2\left(a^2+1\right)}\le\frac{a^2+1}{2\left(a^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2a\le a^2+1\) ( do \(2\left(a^2+1\right)>0\) )
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng :

Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\) với mọi \(a\in R\)

Chúc bạn học tốt !!!

Miền giá trị thử ạ:)

Đặt \(f=\frac{a}{a^2+1}\)

Ta có:\(f\left(a^2+1\right)=a\)

\(\Leftrightarrow fa^2+f-a=0\)

Với \(f=0\Rightarrow a=0\)

Với \(f\ne0\) thì \(f\) là pt bậc 2 ẩn a nên \(\Delta_a=1-4f^2\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le\left|f\right|\le\frac{1}{2}\)

\(\left|f\right|\le\frac{1}{2}\) Dấu "=" xảy ra tại \(a=\frac{1}{2f}=1\)

P/S:E mới học nên ko chắc đâu ạ

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

x^2-x+1>0

<=>x²-2x.1/2+1/4+3/4>0

<=>(x-1/2)²+3/4 >0 ( luôn đúng với mọi x vì (x-1/2)²\(\ge\)0 với mọi x)

vậy x^2-x+1>0 với mọi x thuộc R

Mọi người giúp với 

Tìm x

x^2+5x=0

Chứng minh x^2-2x+3>0 với mọi số thực x

Đường trung bình của một tam là đoạn thẳng nối 2 trung điểm hai cạnh của tam giác.Cho tam giác ABC có I là trung điểm của cạnh AB.Qua I kẻ đường thẳng a // với cạnh BC cắt AC tại K

a) Chứng minh IK là đường trung bình của tam giác ABC

b) Tính độ dài IK với BC=12cm

c) Qua K kẻ đường thẳng b // với AB cắt BC tại L . Chứng minh rằng tứ giác BLKL là hình bình hành

Biến đổi vế phải:

(a³+b³)(a²+b²)-(a+b)=(a⁵+b⁵)+(a³b²+a²b³)-(a+b)=a⁵+b⁵+a²b²(a+b)-(a+b)

Thay ab=1 vào ta được:

a⁵+b⁵+(a+b)-(a+b)=a⁵+b⁵

Sau khi biến đổi ta thấy vế phải bằng vế trái.Vậy đẳng thức đã được chứng minh

Mong mọi người giúp với, mình đang cần gấp!!! Thanks

a) (x+3)^2-(x-5)(x+5)-6x

= x^2+6x+9-x^2+25-6x

= 9+25

= 94

vậy...

Ta có: `-a^2-6a <= 9`

`<=>a^2+6a+9 >= 0`

`<=>(a+3)^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a`)

Vậy với mọi số `a` ta luôn có `-a^2-6a <= 9`