1:

ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=2,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3.2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

2:

Chúng ta sẽ gọi AB,AC là hai cạnh góc vuông

AH,AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A xuống cạnh huyền BC

Theo đề, ta có: AH=4cm và AM=5cm

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên BC=2*AM

=>BC=10(cm)

Đặt HB=x; HC=y

HB+HC=BC

=>x+y=10(1)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\)

=>\(x\cdot y=4^2=16\)(2)

Từ (1), (2) suy ra x,y là các nghiệm của phương trình:

\(a^2-10a+16=0\)

=>(a-2)(a-8)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=8\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}BH=2cm\\CH=8cm\end{matrix}\right.\)

\(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{CH\cdot CB}=\sqrt{8\cdot10}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}BH=8cm\\CH=2cm\end{matrix}\right.\)

\(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{CH\cdot CB}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)