a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)

Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)

Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN

Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:

OA=OB(cùng bằng bán kính)

OE=OD(chứng minh trên)

=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)

Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)

Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2

∠BOC = ∠O3 + ∠O4

Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC

Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB.

Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:

∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)

OA=OB

OF: chung

Suy ra ΔOBF = ΔOAF (c-g-c)

=> BF=AF( 2 cạnh tương ứng)

=> OC ⊥ AB

a. Kẻ \(OH\perp AM ; OK\perp AN\)

Ta có: AM = AN ( gt )

Suy ra: OH = OK ( hai dây bằng nhau cách đều tâm )

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có :

\(\widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^o\)

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OIH=\Delta OIK\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có :

\(\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90^o\)

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OAH=\Delta OBH\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

\(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\)

Suy ra : \(\widehat{O_1}+\widehat{O_3}=\widehat{O_2}+\widehat{O_4}\)hay \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

b. Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân )

Suy ra: \(OC\perp AB\)

Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ AN

Ta có: AM = AN (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆ OIH =  ∆ OIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có:

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ OAH =  ∆ OBH (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Hình vẽ:

Nguyễn Việt Lâm Akai Haruma giúp em với ạ.