Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.

2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m

Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11

Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.

Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …

Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.

nhưng mà đề bài là 2ⁿ+11 chia hết cho 2^k-1 chứ không phải 2n+11 chia hết cho 2k-1.

Ta sẽ chứng minh  : 11ⁿ⁺¹ + 12^2n-1 (1) với mọi n \(\inℕ^∗\)bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1 , ta có : 11ⁿ⁺¹ + 12^2n-1 = 11² + 12 = 133 

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k \(\inℕ^∗\), ta sẽ Chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1 

Ta có : 

11^{(k+1) + 1} + 12^{2(k+1) - 1} = 11.(11^k+1 + 12^2k-1) + 12^2k-1.(12² - 11) 

                                  = 11 . (11^k+1 + 12^2k-1) + 133 . 12^{2k -1} (2) 

Mà 11^k+1 + 12^2k-1 \(⋮\)133 nên từ (2) ta suy ra được : 11^(k+1)+1 + 12^{2(k+1) - 1} \(⋮\)133 

Hay (1) đúng với n = k + 1 

Từ các chứng minh trên => (1) đúng với mọi n \(\inℕ^∗\)

\(11^{n+1}+12^{2n-1}=11^n\cdot11+12\cdot12^{2n-2}=11^n\cdot11+12\cdot144^{n-1}\)

\(11^n\cdot11+\left(133-121\right)\cdot144^{n-1}=133\cdot144^{n-1}-121\cdot144^{n-1}+11^n\cdot11\)

\(=133\cdot144^{n-1}-144^{n-1}\cdot121+11^{n-1}\cdot121\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144^{n-1}-11^{n-1}\right)\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144-11\right)\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\cdot133\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)

\(=133\left(144^{n-1}-121\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\right)⋮133\)

\(\Rightarrow11^{n+1}+12^{2n-1}⋮133\)(đpcm)

có biết đâu mà giúp, mong bạn thông cảm cho. Nhớ tick cho mình với

Từ giả thiết suy ra m và n đều lẻ, không mất tính tổng quát, giả sử \(m\ge n\)

Đặt \(2n+1=k.m\le2m+1\) (với \(k\ge1\) và k lẻ)

\(\Rightarrow k\le2+\frac{1}{m}\le3\Rightarrow k=\left\{1;3\right\}\)

TH1: \(k=1\Rightarrow2n+1=m\Rightarrow2m+1=4n+3⋮n\)

\(\Rightarrow3⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=3\\n=3\Rightarrow m=7\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

TH2: \(k=3\Rightarrow2n+1=3m\Rightarrow3\left(2m+1\right)=4n+5⋮n\)

\(\Rightarrow5⋮n\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\Rightarrow m=1\\n=5\Rightarrow m=\varnothing\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Thấy rẳng $2m+1,2n+1$ lẻ nên ước của chúng là $m,n$ cũng phải lẻ.

Nếu $m=1$ thì $n=1$ hoặc $n=3$

Nếu $n=1$ thì $m=1$ hoặc $m=3$

Nếu cả $m,n\geq 3$:

\(\left\{\begin{matrix} 2m+1\vdots n\\ 2n+1\vdots m\end{matrix}\right.\Rightarrow (2m+1)(2n+1)\vdots mn \)

\(\Leftrightarrow 4mn+2m+2n+1\vdots mn \)

\(\Leftrightarrow 2m+2n+1\vdots mn\)

Mà $2m+n+1$ nguyên dương nên $2m+2n+1\geq mn$

$\Leftrightarrow (m-2)(n-2)\leq 5$

$m,n$ lẻ $m-2,n-2$ lẻ. Do đó $(m-2)(n-2)$ lẻ. Mà $m,n\geq 3$ nên $(m-2)(n-2)\geq 1$

Do đó $(m-2)(n-2)=1;3$. Đến đây là dạng phương trình tích đơn giản.

Tóm lại $(m,n)=(1,1); (1,3); (3;1); (7;3); (3;7)$

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

b) Ta có: \(mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left(m-n\right)\left(m+n\right)\)(*)

Xét tích (*), ta thấy khi m và n có cùng tinh chẵn lẻ thì m - n và m + n là số chẵn, từ đó (*)\(⋮2\)

Nếu chỉ có một trong hai số m và n là số chẵn, thì hiển nhiên (*) \(⋮2\)

Vậy (*) \(⋮2\)với mọi trường hợp m và n nguyên. (1)

Xét tiếp tích (*), ta thấy khi m và n có cùng số dư (là các cặp 0,0 ; 1,1 ; 2,2) khi chia cho 3 thì \(m-n⋮3\), từ đó (*) \(⋮3\)

Khi một trong hai số m và n chia hết cho 3 (là các cặp 0,1 ; 0,2) thì hiển nhiên (*) \(⋮3\)

Khi hai số m và n có tổng các số dư khi chia cho 3 là 3 (là cặp 1,2) thì \(m+n⋮3\), từ đó (*) \(⋮3\)

Vậy (*) \(⋮3\)với mọi trường hợp m và n nguyên. (2)

Mặt khác \(\left(2,3\right)=1\)(3) 

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\)(*) \(⋮2.3=6\)với mọi m và n nguyên \(\Rightarrow mn\left(m^2-n^2\right)⋮6\)với mọi m và n nguyên.

c) Đặt \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=k\left(k\inℤ\right)\)

Xét số k, ta thấy n và n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên trong hai số n và n + 1 luôn có một số là bội của 2

\(\Rightarrow k⋮2\)với mọi n nguyên (1)

Xét tiếp số k lần nữa, ta lại thấy khi n\(⋮3\)thì hiển nhiên \(k⋮3\)

Khi n chia 3 dư 2 thì \(n+1⋮3\),từ đó \(k⋮3\)

Khi n chia 3 dư 1 thì \(2n+1⋮3\), từ đó \(k⋮3\)

Vậy \(k⋮3\)với mọi n nguyên. (2)

Mà \(\left(2,3\right)=1\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow k⋮2.3=6\)với mọi n nguyên \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)với mọi n nguyên

Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath