- Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

- Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

   a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

   b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

   c) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

a: Xét ΔMTA và ΔMBT có

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AT}\right)\)

\(\widehat{TMA}\) chung

Do đó: ΔMTA đồng dạng với ΔMBT

=>\(\dfrac{MT}{MB}=\dfrac{MA}{MT}\)

=>\(MT^2=MA\cdot MB\)

b: \(MT^2=MA\cdot MB\)

=>\(MA\cdot MB=20^2=400\)

=>\(MA=\dfrac{MT^2}{MB}=\dfrac{400}{50}=8\left(cm\right)\)

MA+AB=MB

=>AB+8=50

=>AB=42(cm)

=>R=42/2=21(cm)

a: Xét ΔMTA và ΔMBT có 

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

\(\widehat{TMA}\) chung

DO đó: ΔMTA∼ΔMBT

Suy ra: MT/MB=MA/MT

hay \(MT^2=MA\cdot MB\)

b: MB=50cm

=>MA=8cm

=>AB=42cm

=>R=21cm

Định lí thuận: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Định lí đảo: Một góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung, có số đo bằng nửa số đo cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc thì cạnh kia là một tia tiếp tuyến.

Định lí thuận: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Định lí đảo: Một góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung, có số đo bằng nửa số đo cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc thì cạnh kia là một tia tiếp tuyến.

a: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IO là phân giác của góc DIA

=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IO' là phân giác của góc AIE

=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)

Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)

b: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE

Ta có: IA=IE

ID=IA

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

=>I là tâm đường tròn đường kính DE

Xét ΔDAE có

AI là bán kính

\(AI=\dfrac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>A nằm trên (I)

Xét (I) có

IA là bán kính

O'O\(\perp\)IA tại A

Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)

=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

Kẻ OC và OD

a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C

=>CM=AC ⁽¹⁾  , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC

Lại có:  BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D

=> BD=MD⁽²⁾  , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD

Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180^O

Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB

Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180^o

   ⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180^o

   ^⇔  2(∠COM+ ∠MOD)=180^o

   ^⇔ ∠COM+ ∠MOD=\(\dfrac{180^0}{2}\)=90^o

Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90^o nên ∠COD=90^o =>△COD là tam giác vuông⁽³⁾

Từ ⁽¹⁾,⁽²⁾ và⁽³⁾, suy ra:

Trong △COD,có:   CD=CM+MD =AC+BD

Vậy CD=AC+BD (đpcm)

b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI

Ta có: △COD là tam giác vuông

 Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=\(\dfrac{CD}{2}\)

=> IO=CI=ID ⁽¹⁾ 

Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD

=> ACDB là hình thang vuông⁽¹⁾

Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB

=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB⁽²⁾

Từ (1) và (2),  suy ra: IO ⊥AB

=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)

Các cách nhận biết của tiếp tuyến đường tròn 

Nhận biết 1: Nếu một đường thẳng với 1 đường tròn chỉ có duy nhất 1 điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn 

Nhận biết 2: Nếu khoảng cách từ tâm đến 1 đường thẳng (tính từ tâm kẻ vuông góc với đường thẳng) bằng với bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn