Đáp án: B.

Ta có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn của một parabol bằng p ⇒ p = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol là:  y 2  = 2.2x ⇔  y 2  = 4x

Chọn C.

a) Tiêu điểm có tọa độ \((4;0)\) nên ta có \(p = 8\)

Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 16x\)

b) Đường chuẩn có phương trình \(x =  - \frac{1}{6}\), nên ta có \(p =  - \frac{1}{3}\)

Suy ra phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} =  - \frac{2}{3}x\)

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\)

Thay tọa độ điểm \((1;4)\) vào phương trình \({y^2} = 2px\) ta có:

\({4^2} = 2p.1 \Rightarrow p = 8\)

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 16x\)

d) Gọi \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\), \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\) lần lượt là tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol ta có:

\(d\left( {F,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{p}{2} + \frac{p}{2}} \right|}}{1} = 8 \Rightarrow p = 8\)

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 16x\)

Những phương trình chính tắc của parabol là: b), d)

a) Từ phương trình chính tắc \({y^2} = 12x\) ta có \(p = 6\)

Suy ra

+) Tiêu điểm của parabol \(F(3;0)\)

+) Phương trình đường chuẩn của parabol \(\Delta :x + 3 = 0\)

b) Từ phương trình chính tắc \({y^2} = x\) ta có \(p = \frac{1}{2}\)

Suy ra

+) Tiêu điểm của parabol \(F(\frac{1}{4};0)\)

+) Phương trình đường chuẩn của parabol \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\)

a) Ta có: 

\(2p = \;\frac{5}{2} \Rightarrow p = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{8}\).

Tiêu điểm của parabol là: \(F\left( {\frac{5}{8};0} \right)\)

Phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{5}{8} = 0\)

b) Ta có:

\(2p = 2\sqrt 2  \Rightarrow p = \sqrt 2  \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Tiêu điểm của parabol là: \(F(\frac{{\sqrt 2 }}{2};0)\)

Phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\)

a) Ta có: \(\overrightarrow {FM}  = \left( {x - \frac{p}{2};y} \right) \Rightarrow MF = \left| {\overrightarrow {FM} } \right| = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \)

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {x + \frac{p}{2}} \right|}}{1} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\)

b) M thuộc parabol (P) nên M cách đều F và \(\Delta \)

Suy ra \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \left| {x - \frac{p}{2}} \right|\)

\(1/\)

\(M\left(3;5\right);d:x+y+1=0\)

\(\)Gọi khoảng cách từ M đến d là \(l\)

\(l\left(M;d\right)=\dfrac{\left|x_M+y_M+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\)

\(M\left(2;3\right);d:\left\{{}\begin{matrix}x-2t\\y=2+3t\end{matrix}\right.\)

d qua \(M\left(2;3\right)\) có \(VTCP\overrightarrow{u}=\left(-2;3\right)\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)\)

\(PTTQ\) của \(\Delta:3\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0\)

\(\Rightarrow3x-6+2y-6=0\)

\(\Rightarrow3x+2y-12=0\)

Gọi khoảng cách từ M đến d là \(l\)

\(l\left(M;d\right)=\dfrac{\left|3.x_M+2.y_M-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{\left|3.2+2.3-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=0\)

a) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) là phương trình của đường elip

Từ phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Suy ra tiêu điểm của elip này là \({F_1}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\) và \({F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

b) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = 3,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {6^2}}  = 3\sqrt 5 \)

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là \({F_1}\left( { - 3\sqrt 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {3\sqrt 5;0} \right)\)

c) Phương trình \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\) có dạng \({y^2} = ax\) nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\)

Suy ra tiêu điểm là \(F(2;0)\)