\(S=a+a^3+...+a^{2n+1}\)

\(S.a^2=a^3+a^5+...+a^{2n+1}+a^{2n+3}\)

\(\Rightarrow S\left(a^2-1\right)=a^{2n+3}-a\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{a^{2n+3}-a}{a^2-1}\)

\(S_1=1+a^2+...+a^{2n}\)

\(S_1.a^2=a^2+a^4+...+a^{2n}+a^{2n+2}\)

\(\Rightarrow S_1\left(a^2-1\right)=a^{2n+2}-1\)

\(\Rightarrow S_1=\dfrac{a^{2n+2}-1}{a^2-1}\)

a)Do 1980a chia hết cho cả 3 và 5

1995b cũng chia hết cho cả 3 và 5

Vậy 1980a-1995b chia hết cho cả 3 và 5

b)Do a;a+1;a+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

có số chia hết cho 2 hoặc 3

vậy a(a+1)(a+2)chia hết cho 2 và 3

\(S=a+a^2+...+a^n\)

\(a.S=a^2+a^3+...+a^{n+1}\)

\(a.S-S=a^2+a^3+...+a^{n+1}-\left(a+a^2+...+a^n\right)\)

\(S\left(a-1\right)=a^{n+1}-a\)

\(S=\dfrac{a\left(a^n-1\right)}{a-1}\)

Để \(S⋮\left(a+1\right)\Leftrightarrow\dfrac{a\left(a^n-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\dfrac{a\left(a^n-1\right)}{a^2-1}\)

khi \(\left(a^n-1\right)⋮\left(a^2-1\right)\Rightarrow n=2\)

Ta thấy:

a+a^2=a.\left(a+1\right)⋮a+1a+a2=a.(a+1)⋮a+1

a^3+a^4=a^3.\left(a+1\right)⋮a+1a3+a4=a3.(a+1)⋮a+1

...

Như vậy, cứ 2 số trong tổng S thì có tổng chia hết cho a + 1

Do đó, với n chẵn thì S chia hết cho a + 1

\(1+a^2+a^4+a^6+.....+a^{2n}\)

\(\Rightarrow a^2.S1=a^2+a^4+a^6+a^8+.....+a^{2\left(1+n\right)}\)

\(\Rightarrow a^2.S1-S1=\left(a^2+a^4+....+2^{2\left(1+n\right)}\right)-\left(1+a^2+a^4+....+2^{2n}\right)\)

\(\Rightarrow S1\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a^{2\left(1+n\right)}-1\)

\(\Rightarrow S1=\frac{a^{2\left(1+n\right)}-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)