Theo bđt Cauchy ta có \(\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}\) \(\left(a,b\ge0;a\ne b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{a+b}< \frac{1}{\sqrt{ab}}\)

Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{1.2014}}+\frac{1}{\sqrt{2.2013}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014.1}}\)

\(A=\frac{2}{1+2014}+\frac{2}{2+2013}+...+\frac{2}{2014+1}\)

\(A=2\left(\frac{1}{1+2014}+\frac{1}{2+2013}+...+\frac{1}{2014+1}\right)\)

\(A=2\left(\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}+...+\frac{1}{2015}\right)\)

\(A=2.\frac{2014}{2015}\)

\(A=\frac{4028}{2015}\)

Vậy \(A=\frac{4028}{2015}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

sorry mk nhầm 

Sửa lại các dấu "=" thành dấu ">" nha bn 

Chúc bạn học tốt ~ 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:

\(\sqrt{1.2014} \leq \frac{1+2014}{2}=\frac{2015}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1.2014}} \geq \frac{2}{2015}\)

Trong tổng A có 2014 phân thức, mỗi phân thức theo chứng minh tương tự, ta đều chỉ được nó lớn hơn hoặc bằng \( \frac{2}{2015}\)

Suy ra \(A\geq \frac{2.2014}{2015} = B\)

Dấu = xảy ra khi \(\Leftrightarrow\) \(1=2014\\ 2=2013\\ ...\\ 2014=1\) (vô lý)

Vậy A>B

Sử dụng BĐT: \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\) (với \(a\ne b\)) ta được:

\(A>\dfrac{2}{1+2014}+\dfrac{2}{2+2013}+...+\dfrac{2}{2014+1}\) (2014 số hạng)

\(A>\dfrac{2}{2015}+\dfrac{2}{2015}+...+\dfrac{2}{2015}=\dfrac{2.2014}{2015}\)

\(A>\dfrac{4028}{2015}\)

Vậy \(A>B\)

Theo BĐT \(AM-GM\) ta có : \(\sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}\) với \(a;b>0;a\ne b\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{2}{a+b}\)

Áp dụng ta được : 

\(S>\frac{2}{1+2014}+\frac{2}{2+2013}+...+\frac{2}{k+2014-k+1}+...+\frac{2}{2014+1}\)

\(=2\left(\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}+...+\frac{1}{2015}\right)=2.\frac{2014}{2015}\)

Vậy \(S>2.\frac{2014}{2015}\)

1212;

1212;

1212.

k cho mình nhé.

1212

tk nhe@@@@@@@@@@@!!

aitk minh minh tk lai

bye

Ta so sánh từng số hạng : 

\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\left(1+2\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}=\frac{1}{\left(1+2\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}< \frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(2+3\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\frac{1}{\left(2+3\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}< \frac{1}{2}\)

..........................................................................................................................................................................................

\(\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{2014+2015}=\frac{\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\right)}{\left(2014+2015\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\right)}=\frac{1}{\left(2014+2015\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2015}\right)}< \frac{1}{2}\)

Vì mỗi số hạng của M đều nhỏ hơn 1/2 nên M < 1/2

Bài này mình làm chưa đúng nhé :) Để lát mình làm cách khác.