Để CM \(HM^2=HB.HC\):

Trên đường thẳng qua \(C\) vuông góc \(BC\) ta chọn điểm \(T\) sao cho \(TM\) là phân giác \(BTC\).

Do có hệ thức \(\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}\) suy ra luôn \(TN\) là phân giác ngoài của \(BTC\).

Vậy tam giác \(MTN\) là vuông nên \(HT=HN\), hay \(\widehat{HTN}=\widehat{HNT}=\widehat{MTC}=\widehat{MTB}\).

Suy ra \(\widehat{BTH}\) vuông và ta có \(HB.HC=HT^2=HN^2\).

P/S: Nếu cho 4 điểm \(A,B,C,D\) thẳng hàng theo thứ tự đó và thoả \(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) thì 4 điểm này gọi là hàng điều hoà (giống chân đường phân giác trong và ngoài ấy).

Khi đó, nếu gọi \(T\) là trung điểm \(BD\) thì ta có hệ thức: \(TB^2=TA.TC\) và \(CD.CB=CA.CT\).

(Sao mấy bài hình học của bạn thấy nhiều "hàng điều hoà" thế?)

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\). CM được \(HC.HB=HM^2=HD^2\).

Tức là tam giác \(HCD\) và \(HDB\) đồng dạng, cho ta 2 góc sau bằng nhau: \(HDC=HBD=\alpha\).

Do \(ACB=2\alpha\) nên \(CHD=\alpha=CBD\).

Vậy tam giác \(BDH\) cân tại \(D\) và ta suy ra đpcm.

Xét \(\Delta ABK\),ta có: BE là phân giác \(\angle ABK,BE\bot AK\)

\(\Rightarrow\Delta ABK\) cân tại B \(\Rightarrow BE\) là trung trực AK

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta KBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BK\\BDchung\\\angle ABD=\angle KBD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta KBD\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle BKD=\angle BAD=90\)

Ta có: \(\angle BAD+\angle BKD=90+90=180\Rightarrow BAKD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AKD=\angle ABD=\angle KBD=\angle KAH\left(=90-\angle BKA\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AI\parallel KD\)

Vì \(I\in BE\Rightarrow IA=IK\Rightarrow\Delta IAK\) cân tại I \(\Rightarrow\angle IKA=\angle IAK\)

BADK nội tiếp \(\Rightarrow\angle KAD=\angle KBD=\angle ABD=\angle AKD\)

\(\Rightarrow\angle IKA=\angle DAK\Rightarrow\)\(IK\parallel AD\Rightarrow AIKD\) là hình bình hành

mà \(IA=IK\Rightarrow IKDA\) là hình thoi

b: Xét ΔACB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABK vuông tại A có AK là đường cao

nên \(AB^2=BK\cdot BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=BK\cdot BD\)

mk trả 

lời rồi

k mk nhé