a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của Marklin_9301 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

mình gửi ảnh

a) Xét ΔCAE và ΔKAE có

     \(\widehat{ACE}=\widehat{AHE}=90\left(gt\right)\)

        AE: cạnh chung

    \(\widehat{CAE}=\widehat{HAE}\left(gt\right)\)

=> ΔCAE=ΔKAE (cạnh huyền-góc nhạn)

=> AC=AK

=> ΔACK cân tại A

Mà AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\)

=> AE cũng là đường cao của ΔACK

=> AE vuông góc với CK

b) Có ΔCAK cân tại A(cmt)

Mà: \(\widehat{A}=60\left(gt\right)\)

 => ΔCAK là tam giác đều 

=> AK=CK    (1)

Vì ΔABC cân tại C(gt), có CK là đường cao ứng với cạnh huyền AB 

=> CK=KB     (2)

Từ (1)(2) suy ra: KA=KB

a) xét hai tam giác vuông AEK và tam giác AKC

 có : AE chung góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

=>  tam giác vuông AEK = tam giác AKC

=> AK=AC ( hai cạnh tương ứng bằng nahu )

gọi CK giao với AE tại H 

ta xét tam giác AHK và tam giác AHC có 

 góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

AH chung 

AK=AC

=>  tam giác AHK = tam giác AHC

=> góc AHK = góc AHC mà góc AHK +góc AHC=180

=> góc AHK = góc AHC=90

=> AE_|_CK

b) xét tam giác vuông CHA có : A+H+C=180

=>góc HCA=180-90-30=60

mà góc ACK=60

=> tam giác  ACK cân tại K

=> CK = KA

tương tự ta cs : CK=HB

=> KA=KB (=CK)

a. xét tam giác ACE và tam giác AKE  có :

AE chung

góc C= góc K ( =90 độ)

A1=A2( gt)

=> tam giác ACE=tam giác AKE ( g.c.g)

=> AC=AK ( 2 cạnh tương ứng )

vì AC=AK => tam giác ACK cân tại a

trong 1 tam giác cân dq phân giác đồng thời là đường cao=> AE vuông góc với AK

b. vì AE là phân giác góc BAC 

=> A1=A2=góc BAC:2=60⁰ : 2= 30⁰ (1)

Xét tam giác ABC có : 

BAC+ABC+ACB=180⁰

60⁰+90⁰+ABC=180⁰

^=> ABC=180⁰-90⁰-60⁰=30⁰ (2)

Từ (1) và (2) => A1=ABC

xét tam giác ACE và tam giác BKE có :

ACE=BKE (=90⁰⁾

A1=ABC( CMT)

EC=EK ( theo a)

=> tam giác ACE= tam giác BKE ( g.c.g)

=> AC=KB ( 2 cạnh tương ứng)

mà AC=AK ( theo a)

=> KB=KA (đpcm)

c. vì A2=ABC ( theo b cùng =30⁰)

=> tam giác EAB cân tại E => AE=EB (1)

xét tam giác vuông ACE

vì AE  là cạnh huyền => AE>AC(2)

từ (1) và (2 ) => EB>AC (đpcm)

d. gọi O là giao điểm của AC và BD

xét tam giác AOB có 3 dq cao lần lượt là  AD,OK,BC

=> AD , OK ,BC giao nhau tại O => O,K,E thẳng hàng => AC,BD,KE đồng quy tại O ( đpcm )

Câu hỏi của Marklin_9301 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại đây nhé.

c) 

Ta thấy EB = AE

Mà theo quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên thì AC < AE

Vậy nên AC < EB.

a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)

Do đó: ΔACE=ΔAKE

Suy ra: AC=AK và EC=EK

=>AE là đường trung trực của CK

b: Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

nên ΔEAB cân tại E

hay EA=EB

 Xét ΔACE \ và ΔAKE  ta có

cạnh AE chung

\(\widehat{EAC}=\widehat{EAK}\)

=> ΔACE=ΔAKE(c.h-g.n)

=> AC=AK và EC=EK (cặp cạnh - nhau tg ứng)

=>AE là đường trung trực của CK

 Xét ΔEAB ta có

\(\widehat{BAE}=\widehat{ABE}\)

=> ΔEAB cân tại E

=>EA=EB

1

a)Xét \(\Delta\)ABD:AB=BD=>\(\Delta\)ABD cân tại B=>BAD=BDA

b)Xét \(\Delta\)AHD:HAD+HDA=90(do AHD=90) (1)

Lại có:BAH+HAD+DAC=90(do bằng góc BAC) (2)

Mặt khác:BAD=BDA (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra :HAD=DAC=>AD là tia phân giác góc HAC

c)Xét \(\Delta\)ADH và \(\Delta\)ADK:

                AHD=AKD=90

                AD chung

                HAD=DAK(AD là tia phân giác góc HAC)

=>\(\Delta\)ADH=\(\Delta\)ADK(cạnh huyền-góc nhọn)

d)Xét \(\Delta\)ABH:AB<BH+AH

   Xét \(\Delta\)ACH:AC<AH+CH

Suy ra:AB+AC<BC+2AH

2.

a)Xét \(\Delta\)AKE và \(\Delta\)ACE:

                 AKE=ACE=90

                 AE:chung

                 EAK=EAC

=>\(\Delta\)AKE=\(\Delta\)ACE(cạnh huyền-góc nhọn)=>AC=AK=>\(\Delta\)AKC cân tại A=>AE là đường phân giác đồng thời là đường vuông góc=>AC=AK và AE\(\perp\)CK

b)Xét \(\Delta\)ABC:C=90;A=60=>B=30

   AE là đường phân giác góc BAC=>KAE=1/2.BAC=30

Suy ra:\(\Delta\)BAE cân tại E=>EK là đường vuông góc đồng thời là đường trung tuyến=>KA=KB

c)\(\Delta\)BAE cân tại E=>EB=EA

   Xét ACE:C=90=>EA>AC

Mà:EB=EA(chứng minh trên)

Suy ra:EB>AC

d)Xét \(\Delta\)ADB và\(\Delta\)BCA:

               ADB=BCA=90

              AB:chung

              BAD=ABC(cùng bằng 30)

=>\(\Delta\)ADB=\(\Delta\)BCA(cạnh huyền-góc nhọn)=>AD=BC

Gọi G là giao điểm của BD và AC,ta cần chứng minh G;E;K thẳng hàng

Xét \(\Delta\)ABG có 2 đường cao AD và BC cắt nhau tại E 

Nên E là trực tâm hay GE\(\perp\)AB

Mà EK\(\perp\)AB

Nên: GE trùng EK hay G;E;K thẳng hàng 

Suy ra AC,BD,EK đồng quy tại G